数学分析_空间几何——法向量和梯度的关系

法向量和梯度的关系

先给出结论：曲面法向量是三元函数的梯度，曲线法向量是二元函数的梯度

$w=F(x,y,z)$是一个三元函数$w=0$时表示一个等高面(曲面)，对其两边全微分得到$$\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=0$$进一步可以写成$$(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\cdot (dx,dy,dz)=0$$两个向量相互正交，由于$(dx,dy,dz)$是曲面的切向量，那么$(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$一定是曲面法向量，同时它还是$w=F(x,y,z)$的梯度。

值得注意的是，梯度是一个多元函数变化最快的方向(或者说梯度是方向导数取最大时的方向)，在三元函数中，梯度grad $w$指向的是$w$变化最大的方向，而非$z$变化最大的方向。

很多初学者对梯度这一概念理解不到位，会将这里的梯度误以为指向$z$变化最大的方向，画出一个曲面，同时画出它的法向量，发现法向量指向并不是$z$变化的方向。
这是因为，梯度是对于函数来说的，三元函数即三个自变量，其函数值是$w$,因而grad $w$指向的是$w$变化最大的方向。

But!如果是一个二元函数$z=F(x,y)$,其梯度grad $z$指向的就是$z$变化最大的方向，它同时作为$z=0$的曲线法向量(因为$z=0$表示的是一个等高线)

法向量是直观的，而梯度是抽象的，由以上分析，我们应该从法向量与梯度的关系中更直观的认识梯度：

二元函数的梯度是曲线(等高线)的法向量，法向量是二维的，位于平面，因而梯度也是位于平面，而二元函数是三维的，梯度比函数低一个维度。
三元函数的梯度是曲面(登高面)的法向量，法向量是三维的，位于空间，因而梯度也是位于空间，而三元函数是四维的，梯度比函数低一个维度。