P3266 [JLOI2015]骗我呢——dp出手，几何相助

Description

给定两个数$n,m$，请你求出存在多少个大小为$n\times m$的矩阵$A$满足：

①$0\le A_{i,j}\le m,A_{i,j}\in N$
②$A_{i,j}<A_{i,j+1}$
③$A_{i,j}<A_{i-1,j+1}$

请将答案对$10^9+7$取模。

Solution

Lemma

每一行的数从左到右一定是递增的，且在$[0,m]$中的自然数恰有$1$个未出现在此行中。

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根据引理，我们考虑$dp$。

$d{p}_{i,j}$: 在第$i$行中没有出现$j(0\le j\le m)$的方案数(对于前$i$行)

根据限制，$d{p}_{i,j}$的合法转移点为$d{p}_{i-1,p}(0\le p\le j+1)$，所以状态转移为$$d{p}_{i,j}=\sum _{p=0}^{j+1}d{p}_{i-1,p}$$

经过一个简单的转化，得到$d{p}_{i,j}=d{p}_{i,j-1}+d{p}_{i-1,j+1}$。

直接暴力转移是$O(nm)$的，需要优化。

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由于状态本身已经爆炸，所以我们需要考虑一种特殊的方式来优化。考虑赋予这个$dp$一个实际意义，然后转而思考这个实际意义的答案。

在说正解之前，我们先来一波怀旧。当年我们学习组合数问题的时候，遇到过这样的一个问题: 小明在一个$n\times m$的矩阵的左下角，他要往右上角走，每一步可以向上或向下，求方案数。这就是一个$d{p}_{i,j}=d{p}_{i,j-1}+d{p}_{i-1,j}$的实际意义。赋予了这个实际意义之后，答案就变成了一个简单的组合数的形式，从而可以快速计算。

之所以要插叙这一段，是因为我们可以根据这个例子来构造本题的一个实际意义。对于一个$n\times m$的矩阵，$d{p}_{i,j-1}$就相当于从左边往右边走，$d{p}_{i-1,j+1}$相当于从右上往左下走；同时，对于每一行的第一个位置$d{p}_{i,0}$相当于从上往下走。

(图是盗的)

我们似乎很难思考这个图的组合意义。不慌，我们把难看的斜着走的部分给去掉，方式为将上图中的第$i$行向右平移$i-1$格，得到：

（图依然是盗的）

仔细观察这个图，不难发现: 问题等价于从起点走到终点，只能向终点的方先走，且不能走上任何一条黑线的方案数！

最后我们将这个图给大力翻转一下(如下图)，图中左下角为$(0,0)$，右上角为$(n+m-1,n)$。现在，我们开始正式思考这个实际意义下的答案。

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令左边的线为$A$，右边的线为$B$。

一种初步的做法是: 求出从起点到终点的总方案数$tot$(即不考虑“不能走过粗线”的限制)，然后减去经过左边一条粗线的方案数，再减去经过右边一条粗线的方案数。我们可以在线上枚举一个点$P$，求出$f(A,P)\times f(P,B)$之和$sum$(即从$A$到$P$，只能向上或向右走的方案数)，答案为$tot-sum$。

很可惜这个做法大量重复扣去了一些不合法的方案，并没有正确性。但是，这启发我们去容斥地计算答案。

令仅包含A, B的字符串$S$表示了一种方案。更具体的，$S=AABBAA$表示先两次经过A，又两次经过B，最后又两次经过A并到达终点的方案。为了方便思考，我们将$S$给简化为一个相同两个字母不同的串$S^{\prime }$。如$S=AABBAA$被简化为了$S^{\prime }=ABA$。不难发现，从起点到终点的所有走法，无论是否合法都对应着唯一的一个字符串$S$。

那么所有不合法的方案就是：
(1)A
(2)B
(3)AB
(4)BA
(5)ABA
(6)BAB
$\cdots \cdots$

我们要减去所有以A结尾的字符串，加上所有以BA结尾的字符串，再减去ABA，再加上BABA$\cdots$另外一遍，我们减去所有以B结尾的字符串，加上所有以AB结尾的字符串，再减去BAB，加上ABAB$\cdots$

此时所有不合法的字符串都被恰好算了一次。

现在，我们的关键在于如何求出某个后缀为$S^{\prime \prime }$的方案数量。我们可以巧妙运用翻折，如下图：

$S^{\prime }$是关于$S$关于直线$B$的对称点。

综上所述，我们可以采用“轮流翻折”的方式来计算。设当前点$P$为终点，我们先将它沿$A$翻折，再沿$B$，再沿$A$……逐一计算逐一加/减即可。

时间复杂度$O(n+m)$。

Summary

$dp$是可以带入实际意义的。

本题将得到的图进行了多步转化，使得实际意义越发清晰。最后，我们吸收了错误的解法的思想，果断容斥+巧用翻折转化，最终解决了本题。

绝世好题。