©作者|善财童子
学校|西北工业大学
研究方向|机器学习/射频微波
在知乎看到一篇讲解线性判别分析(LDA,Linear Discriminant Analysis)的文章,感觉数学概念讲得不是很清楚,而且没有代码实现。所以童子在参考相关文章的基础上在这里做一个学习总结,与大家共勉,欢迎各位批评指正~~
注意:在不加说明的情况下,所有公式的向量均是列向量,这个也会反映到代码中。
本文的基本思路来自以下文章:
https://www.adeveloperdiary.com/data-science/machine-learning/linear-discriminant-analysis-from-theory-to-code/
基本概念和目标
线性判别分析是一种很重要的分类算法,同时也是一种降维方法(这个我还没想懂)。和 PCA 一样,LDA 也是通过投影的方式达到去除数据之间冗余的一种算法。
如下图所示的 2 类数据,为了正确的分类,我们希望这 2 类数据投影之后,同类的数据尽可能的集中(距离近,有重叠),不同类的数据尽可能的分开(距离远,无重叠),左图的投影不好,因为 2 类数据投影后有重叠,而右图投影之后可以很好地进行分类,因为投影之后的 2 类数据之间几乎没有重叠,只是类内重叠得很厉害,而这正是我们想要的结果。
正交投影
因为 LDA 用到了投影,所以这里有必要科普一下投影的知识。以二维平面为例,如图所示
我们要计算向量 在 上的投影 ,很显然 与 成比例关系: ,其中 是一个常数。我们使用向量正交的概念来求出这个常数 。在上图中,向量 , 与 垂直,它们的内积为 0,即 ,即
注意:对于两个向量 x 和 y, ,所以有 。
假设 w 是一个单位向量,则 ,这样,对于任意向量 x,其在 w 上的投影 可表示为:
其中, 是一个常数。
对于一个数据集 ,其中 ,i=1,2,3,...m 是 d 维列向量。同样假设 w 是一个单位向量,那么每一个 在 w 的投影是:
上述公式的 是叫做 在 w 上的偏移或者坐标。这一系列的值 表示我们做了一个映射 ,即通过投影,我们将 d 维向量降维到了 1 维。
投影数据的均值
为简化起见,我们先假设有 2 类数据,定义样本 : ,其中 。
我们再定义 :
其中 是类别, 是所有类别为 的样本的集合。所有数据 投影到 w 后,求其均值:
其中, 是 数据集的均值,同理 的均值是 ,投影后的均值 。为了使投影之后数据可正确地分类,我们希望这 2 类数据的中心离得越远越好,也就是要使 最大,但是单独这个条件并不能保证能够正确地对每一个数据进行分类,我们还需要考虑每一类数据的方差,大的方差表示 2 类数据之间有重叠,小的方差表示 2 类数据之间没有重叠。
LDA 并没有直接使用方差的计算公式,而是采用如下的定义:
这个有个名称叫 scatter matrix,本文暂时将其翻译成散步矩阵吧。
总结一下,LDA 主要就两点:
(1)最大化各类数据中心的距离,也就是各类数据的均值之间的距离要最大;
(2)各类数据的散步矩阵之和要小,也就是每个类别中的数据尽可能地集中。
将上述两点整合在一起,得到一个优化公式:
这个公式也叫做 Fisher LDA,这样,LDA 的问题就是关于 最优化上述的公式。我们重写上述公式如下:
同理有 :
这样:
这样,LDA 目标优化函数就可以重写为:
对公式(9)关于 求导,并令其导数为 0,可得:
整理得:
公式(11)中 做了替代: , 是一个常量。如果 S 是非奇异矩阵,那么公式(11)左乘 得到:
最终,LDA 问题其实就是求 对应最大特征值,而我们前面要求的投影方向就是最大特征值对应的特征向量,我们将 LDA 问题化成了矩阵的特征值和特征向量的问题了。
上述推导针对二分类问题进行的,对于多分类问题, 矩阵的计算方式不变,而 矩阵需要采用如下的公式计算:
其中:
C 表示类别的个数; 表示第 i 类中样本的个数; 表示第 i 类样本的均值; 表示整个样本的均值。
关于矩阵微分可参考如下文章:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748
https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977
这里提醒一下,对 关于 x 求导的结果是 ,如果 A 是对称矩阵,即 ,则 。公式(10)中因为 B 和 S 都是对称矩阵(由它们的定义可以看出是对称矩阵),所以对 关于 w 求导的结果是 2Bw ,即 ,同理 。
代码实现
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
class MyLDA:
def __init__(self):
pass
def fit(self, X, y):
# 获取所有的类别
labels = np.unique(y)
#print(labels)
means = []
for label in labels:
# 计算每一个类别的样本均值
means.append(np.mean(X[y == label], axis=0))
# 如果是二分类的话
if len(labels) == 2:
mu = (means[0] - means[1])
mu = mu[:,None] # 转成列向量
B = mu @ mu.T
else:
total_mu = np.mean(X, axis=0)
B = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1]))
for i, m in enumerate(means):
n = X[y==i].shape[0]
mu_i = m - total_mu
mu_i = mu_i[:,None] # 转成列向量
B += n * np.dot(mu_i, mu_i.T)
# 计算S矩阵
S_t = []
for label, m in enumerate(means):
S_i = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1]))
for row in X[y == label]:
t = (row - m)
t = t[:,None] # 转成列向量
S_i += t @ t.T
S_t.append(S_i)
S = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1]))
for s in S_t:
S += s
# S^-1B进行特征分解
S_inv = np.linalg.inv(S)
S_inv_B = S_inv @ B
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(S_inv_B)
#从大到小排序
ind = eig_vals.argsort()[::-1]
eig_vals = eig_vals[ind]
eig_vecs = eig_vecs[:, ind]
return eig_vecs
#构造数据集
def make_data(centers=3, cluster_std=[1.0, 3.0, 2.5], n_samples=150, n_features=2):
X, y = make_blobs(n_samples, n_features, centers, cluster_std)
return X, y
if __name__ == "__main__":
X, y = make_data(2, [1.0, 3.0])
print(X.shape)
lda = MyLDA()
eig_vecs = lda.fit(X, y)
W = eig_vecs[:, :1]
colors = ['red', 'green', 'blue']
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
for point, pred in zip(X, y):
# 画出原始数据的散点图
ax.scatter(point[0], point[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
# 每个数据点在W上的投影
proj = (np.dot(point, W) * W) / np.dot(W.T, W)
#画出所有数据的投影
ax.scatter(proj[0], proj[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
plt.show()
4.1 2类2个特征
if __name__ == "__main__":
X, y = make_data(2, [1.0, 3.0]) #rint(X.shape)
lda = MyLDA()
eig_vecs = lda.fit(X, y)
W = eig_vecs[:, :1]
colors = ['red', 'green', 'blue']
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
for point, pred in zip(X, y):
# 画出原始数据的散点图
ax.scatter(point[0], point[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
# 每个数据点在W上的投影
proj = (np.dot(point, W) * W) / np.dot(W.T, W)
#画出所有数据的投影
ax.scatter(proj[0], proj[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
plt.show()
运行结果是:
可见,数据投影后在 1 维上可以很好的分类。
4.2 3类2个特征
if __name__ == "__main__":
# 3类
X, y = make_data([[2.0, 1.0], [15.0, 5.0], [31.0, 12.0]], [1.0, 3.0, 2.5])
print(X.shape)
lda = MyLDA()
eig_vecs = lda.fit(X, y)
W = eig_vecs[:, :1]
colors = ['red', 'green', 'blue']
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
for point, pred in zip(X, y):
# 画出原始数据的散点图
ax.scatter(point[0], point[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
# 每个数据点在W上的投影
proj = (np.dot(point, W) * W) / np.dot(W.T, W)
#画出所有数据的投影
ax.scatter(proj[0], proj[1], color=colors[pred], alpha=0.5)
plt.show()
运行结果是:
4.3 3类4个特征
if __name__ == "__main__":
#X, y = load_data(cols, load_all=True, head=True)
X, y = make_data([[2.0, 1.0], [15.0, 5.0], [31.0, 12.0]], [1.0, 3.0, 2.5], n_features=4)
print(X.shape)
lda = MyLDA()
eig_vecs = lda.fit(X, y)
# 取前2个最大特征值对应的特征向量
W = eig_vecs[:, :2]
# 将数据投影到这两个特征向量上,从而达到降维的目的
transformed = X @ W
plt.subplots(figsize=(10, 8))
plt.scatter(transformed[:, 0], transformed[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Set1)
plt.show()
运行结果如下:
对上述结果使用 sklearn 官方实现的 LDA 进行对比验证:
if __name__ == "__main__":
X, y = make_data([[2.0, 1.0], [15.0, 5.0], [31.0, 12.0]], [1.0, 3.0, 2.5], n_features=4)
print(X.shape)
lda = MyLDA()
eig_vecs = lda.fit(X, y)
# 取前2个最大特征值对应的特征向量
W = eig_vecs[:, :2]
# 将数据投影到这两个特征向量上,从而达到降维的目的
transformed = X @ W
plt.subplots(figsize=(10, 8))
plt.scatter(transformed[:, 0], transformed[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Set1)
plt.title('self-implementation')
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
sk_lda = LinearDiscriminantAnalysis()
sk_lda.fit(X, y)
transformed = sk_lda.transform(X)
plt.subplots(figsize=(10, 8))
plt.scatter(transformed[:, 0], transformed[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Set1)
plt.title("sklearn's offical implementation")
plt.show()
左图是本文实现的 LDA 分类结果,右图是官方实现的 LDA 分类结果,可见,两者的结果是一致的。
总结
LDA 是一个很强大的工具,但它是一个有监督的分类算法,PCA 是一个无监督的算法,这是和 PCA 的一个很重要的区别。
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