使用最小二乘法计算机器学习算法之线性回归（计算过程与python实现）

1.相关概念

1.1 线性回归：

线性回归模型是一种线性模型，是为了计算输入变量x与多个输出变量之间的关系。
求得一条直线：

更一般可表达为：

1.2 最小二乘法：

基于L2范数（均方误差）最小化进行模型求解的方法。

2.计算过程

假设输入特征的值只有一个：

在线性回归中，最小二乘法就是找到一条直线，使所有样本到这条直线的距离之和最小。

求解!w和b，使得

最小的过程，就是“最小二乘参数估计”。
将E_(w,b)分别对w和b求导，可以得到：

令偏导数为0，可以得到：其中，

3.代码实现

3.0 引入依赖

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

3.1 导入数据（data.csv）

points = np.genfromtxt('data.csv', delimiter=',')

points[0,0]

# 提取points中的两列数据，分别作为x，y
x = points[:, 0]
y = points[:, 1]

# 用plt画出散点图
plt.scatter(x, y)
plt.show()

3.3 定义损失函数

# 损失函数是系数的函数，另外还要传入数据的x，y
def compute_cost(w, b, points):
    total_cost = 0
    M = len(points)
    
    # 逐点计算平方损失误差，然后求平均数
    for i in range(M):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        total_cost += ( y - w * x - b ) ** 2
    
    return total_cost/M

3.4 定义算法拟合函数

# 先定义一个求均值的函数
def average(data):
    sum = 0
    num = len(data)
    for i in range(num):
        sum += data[i]
    return sum/num

# 定义核心拟合函数
def fit(points):
    M = len(points)
    x_bar = average(points[:, 0])
    
    sum_yx = 0
    sum_x2 = 0
    sum_delta = 0
    
    for i in range(M):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        sum_yx += y * ( x - x_bar )
        sum_x2 += x ** 2
    # 根据公式计算w
    w = sum_yx / ( sum_x2 - M * (x_bar**2) )
    
    for i in range(M):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        sum_delta += ( y - w * x )
    b = sum_delta / M
    
    return w, b

3.5 测试

w, b = fit(points)

print("w is: ", w)
print("b is: ", b)

cost = compute_cost(w, b, points)

print("cost is: ", cost)

w is: 1.3224310227553846
b is: 7.991020982269173
cost is: 110.25738346621313

3.6 画出拟合曲线

plt.scatter(x, y)
# 针对每一个x，计算出预测的y值
pred_y = w * x + b

plt.plot(x, pred_y, c='r')
plt.show()