粗糙集的基础理论汇总

粗糙集

什么是粗糙集

1982年波兰学者Z. Pawlak 提出了粗糙集理论——它是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具,能有效地分析不精确,不一致(inconsistent)、不完整(incomplete) 等各种不完备的信息,还可以对数据进行分析和推理,从中发现隐含的知识,揭示潜在的规律。已被广泛应用于知识发现、机器学习、决策支持、模式识别、专家系统及归纳推理等领域。

从数学的角度看,粗糙集是研究集合的;从编程的角度看,粗糙集的研究对象是矩阵,只不过是一些特殊的矩阵;从人工智能的角度来看,粗糙集研究的是决策表。

举一个例子

学生 食堂饭钱 超市花销 其他佐证 贫困
s1
s2
s3 存疑
s4 存疑
s5 存疑
s6 存疑
s7
s8

论域(记作U):病人,比如在这个表格中,就是从s1s8

属性:分为条件属性决策属性(记作C)。

​ 其中,条件属性又有食堂属性、教超属性以及证明属性。

这些条件属性又被称为论域上的知识

我们把这个记作信息系统S

以决策属性C分类的论域S,记作

U / C= { { s 1 s_1 s1, s 2 s_2 s2}, { s 3 , s 4 , s 5 , s 6 s_3, s_4, s_5, s_6 s3,s4,s5,s6}, { s 7 s_7 s7, s 8 s_8 s8} } = { X 1 , X 2 , X 3 X_1, X_2, X_3 X1,X2,X3}

X 1 X_1 X1 = { s 1 , s 2 s_1, s_2 s1,s2} 不妨把它称作非贫困类

X 2 X_2 X2 = { s 3 , s 4 , s 5 , s 6 s_3, s_4, s_5, s_6 s3,s4,s5,s6} 不妨把它称作存疑贫困类

X 3 X_3 X3 = { s 7 , s 8 s_7, s_8 s7,s8} 不妨把它称作贫困类

随机给出一个集合X = { s 1 , s 2 , s 7 s_1, s_2, s_7 s1,s2,s7} ,显然 X 是C 的粗糙集,因为不能通过组合的方法从 X 1 , X 2 , X 3 X_1, X_2, X_3 X1X2X3 得出 X 的。

上近似

对于上文随机给出的一个粗糙集 X={ s 1 , s 2 , s 7 s_1, s_2, s_7 s1,s2,s7}:

非贫困类 { s 1 , s 2 } ∩ X = { s 1 , s 2 } → X 1 ∩ X = { s 1 , s 2 } \{s1, s2\} ∩ X = \{s1, s2\} → X_1 ∩ X = \{s1, s2\} { s1s2}X={ s1,s2}X1X={ s1,s2}

存疑贫困类: { s 3 , s 4 , s 5 , s 6 } ∩ X = ∅ → X 2 ∩ X = Ø \{s3, s4, s5, s6\} ∩ X = \empty→ X_2 ∩ X = Ø { s3,s4,s5,s6}X=X2X=Ø

贫困类: { s 7 , s 8 } ∩ X = { s 7 } → X 3 ∩ X = { s 7 } \{s7, s8\} ∩ X = \{s7\} → X_3 ∩ X = \{s7\} { s7,s8}X={ s7}X3X={ s7}

X 1 X_1 X1 X 3 X_3 X3 称作是 X 关于C上近似。记作 R ‾ X \overline{R}X RX.

下近似

对于上文随机给出的一个粗糙集 X={s1, s2, s7}

非贫困类:{s1, s2} ⊆ \subseteq X → X 1 X_1 X1 ⊆ \subseteq X
存疑贫困类:{s3, s4, s5, s6} ⊈ \nsubseteq X → X 2 X_2 X2 ⊈ \nsubseteq X
贫困类:{s7, s8} ⊈ \nsubseteq X → X 3 X_3 X3 ⊈ \nsubseteq X

X 1 X_1 X1 X 3 X_3 X3 称作是 X 关于 C下近似。记作 R ‾ X \underline{R}X RX.

正域、负域、边界域

论域U被X的上近似以及下近似集划分为正域 P O S R ( X ) POS_R(X) POSR(X),负域 N E G R ( X ) NEG_R(X) NEGR(X)以及边界域 B N D R ( X ) BND_R(X) BNDR(X)三个互不相交的区域。

正域:
P O S R ( X ) = R ‾ X POS_R(X) = \underline{R}X POSR(X)=RX
负域:
N E G R ( X ) = U − R ‾ X NEG_R(X) = U - \overline{R}X NEGR(X)=URX
边界域:
B N D R ( X ) = R ‾ X − R ‾ X BND_R(X) = \overline{R}X - \underline{R}X BNDR(X)=RXRX

不难看出
P O S R ( X ) ∩ N E G R ( X ) ∩ B N D R ( X ) = U POS_R(X) \cap NEG_R(X) \cap BND_R(X) = U POSR(X)NEGR(X)BNDR(X)=U

系统的定义

在一个决策的信息系统S里:

论域 就是数学里的集合,我们研究的对象构成的集合。

知识 论域中的任何一个子集都可以被称作是知识,这是一种对于论域进行分类的能力,一般是由特征属性进行分类。

不可分辨关系 在指定的知识下,不可以被区分开来的对象之间构成了不可分辨关系,也就是等价关系。举个例子,如果以是否为贫困生作为标准,那么贫困生中的各个年级的学生都构成了不可分辨关系。

精确集与粗糙集 在一个知识下,如果论域可以由若干子集组合而成,那么论域就构成了精确集,否则,则为粗糙集。

上近似与下近似 上近似就是包含指定的集合X的元素最小可定义集;下近似就是包含X的最大可定义集。

知识粒度:

属性重要度:

知识粒度

在一个决策信息系统S中,存在一种知识B ⊂ \sub C,使得 U / B = { x 1 , x 2 , x 3 , … , x m } U / B = \{x1, x2, x3, …, x_m\} U/B={ x1,x2,x3,,xm},一共区分出了m个等价类。则B的知识粒度 G P u ( B ) GP_u(B) GPu(B)为:

G P U ( B ) = ∑ i = 1 m ∣ X i ∣ 2 ∣ U ∣ 2 GP_U(B) = \sum_{i=1}^m\frac{|X_i|^2}{|U|^2} GPU(B)=i=1mU2Xi2

在粗糙集中,等价类的知识粒度越细,划分的能力就越强,近似集就会越精确;否则,划分能力就弱,近似集越粗糙。

1 ∣ U ∣ ≤ G P u ( B ) ≤ 1 \frac{1}{|U|} \leq GP_u(B) \leq 1 U1GPu(B)1

U / B = { X 1 , X 2 , … , X { ∣ U ∣ } } U/B = \{X_1, X_2, …, X_\{|U|\}\} U/B={ X1,X2,,X{ U}}时, ∣ U ∣ |U| U是U元素的个数,这是知识粒度最小,为 1 ∣ U ∣ \frac{1}{|U|} U1,划分能力最强;当U / B = {U} ,此时知识粒度最大,为1,划分能力最弱。

U U U a a a b b b c c c e e e f f f d d d
1 0 1 1 1 0 1
2 1 1 0 1 0 1
3 1 0 0 0 1 0
4 1 1 0 1 0 1
5 1 0 0 0 1 0
6 0 1 1 1 1 0
7 0 1 1 1 1 0
8 1 0 0 1 0 1
9 1 0 0 1 0 0

例,在上表中, U / C = { { 1 } , { 2 , 4 }   { 3 , 5 } { 6 , 7 } , { 8 , 9 } } U/C = \{\{1\}, \{2, 4\}\, \{3, 5\}\{6,7\},\{8,9\}\} U/C={ { 1},{ 2,4}{ 3,5}{ 6,7},{ 8,9}}

则C的知识粒度为:

G P U ( C ) = ∑ i = 1 5 ∣ X i ∣ 2 ∣ U ∣ 2 GP_U(C) = \sum_{i = 1}^5\frac{|X_i|^2}{|U|^2} GPU(C)=i=15U2Xi2

C的知识粒度为:
G P U ( C ) = ∑ i = 1 5 ∣ X i ∣ 2 ∣ U ∣ 2 = 1 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 9 2 = 17 81 GP_U(C) = \sum_{i = 1}^5\frac{|X_i|^2}{|U|^2}\\ =\frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2}\\ =\frac{17}{81} GPU(C)=i=15U2Xi2=9212+22+22+22+22=8117

相对知识粒度

U / P = { X 1 , X 2 , X 3 , … , X m } U/P = \{X_1, X_2, X_3, …, X_m\} U/P={ X1,X2,X3,,Xm} U / Q = { Y 1 , Y 2 , Y 3 , … , Y m } U/Q = \{Y_1, Y_2, Y_3, …,Y_m\} U/Q={ Y1,Y2,Y3,,Ym},则Q相对于P的相对知识粒度为:

G P U ( Q ∣ P ) = G P U ( P ) − G P U ( P ∪ Q ) GP_U(Q|P)=GP_U(P)-GP_U(P \cup Q) GPU(QP)=GPU(P)GPU(PQ)

例如上表中的数据,条件属性集C以及决策属性图D,有:

U / C = { { 1 } , { 2 , 4 } , { 3 , 5 } , { 6 , 7 } , { 8 , 9 } } U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\} U/C={ { 1},{ 2,4},{ 3,5},{ 6,7},{ 8,9}}

U / C ∪ D = { { 1 } { 2 , 4 } { 3 , 5 } , { 6 , 7 } . { 8 } , { 9 } } U/C\cup D=\{\{1\}\{2,4\}\{3,5\},\{6,7\}.\{8\},\{9\}\} U/CD={ { 1}{ 2,4}{ 3,5},{ 6,7}.{ 8},{ 9}}

则D关于C的知识粒度为:

G P U ( D ∣ C ) = G P U ( C ) − G P U ( C ∪ D ) = 17 81 − 15 81 = 2 81 GP_U(D|C)=GP_U(C)-GP_U(C \cup D)\\=\frac{17}{81}- \frac{15}{81}\\=\frac{2}{81} GPU(DC)=GPU(C)GPU(CD)=81178115=812

G P U ( Q ∣ P ) GP_U(Q|P) GPU(QP)表示了Q相对于P的分类能力。 G P U ( Q ∣ P ) GP_U(Q|P) GPU(QP)的值越大,表示Q相对于P对于论域U的分类能力就越强;反之,分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S,U为论域,B ⊆ \subseteq C,若 ∀ a ∈ B \forall a \in B aB

则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:

S i g U i n n e r = G P U ( D ∣ B − { a } ) − G P U ( D ∣ B ) Sig_{U}^{inner} = GP_U(D|B-\{a\})-GP_U(D|B) SigUinner=GPU(DB{ a})GPU(DB)

能力就越强;反之,分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S,U为论域,B ⊆ \subseteq C,若 ∀ a ∈ B \forall a \in B aB

则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:

S i g U i n n e r = G P U ( D ∣ B − { a } ) − G P U ( D ∣ B ) Sig_{U}^{inner} = GP_U(D|B-\{a\})-GP_U(D|B) SigUinner=GPU(DB{ a})GPU(DB)

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