粗糙集的基础理论汇总

粗糙集

什么是粗糙集

1982年波兰学者Z. Pawlak 提出了粗糙集理论——它是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致（inconsistent)、不完整（incomplete) 等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。已被广泛应用于知识发现、机器学习、决策支持、模式识别、专家系统及归纳推理等领域。

从数学的角度看，粗糙集是研究集合的；从编程的角度看，粗糙集的研究对象是矩阵,只不过是一些特殊的矩阵；从人工智能的角度来看，粗糙集研究的是决策表。

举一个例子

学生	食堂饭钱	超市花销	其他佐证	贫困
s1	高	高	无	否
s2	高	高	有	否
s3	高	低	无	存疑
s4	高	低	有	存疑
s5	低	高	无	存疑
s6	低	高	有	存疑
s7	低	低	无	是
s8	低	低	有	是

论域（记作U）：病人，比如在这个表格中，就是从s1到s8

属性：分为条件属性和决策属性（记作C）。

​ 其中，条件属性又有食堂属性、教超属性以及证明属性。

这些条件属性又被称为论域上的知识。

我们把这个记作信息系统S

以决策属性C分类的论域S，记作

U / C= { { $s_1$, $s_2$}, { $s_3,s_4,s_5,s_6$}, { $s_7$, $s_8$} } = { $X_1,X_2,X_3$}

$X_1$ = { $s_1,s_2$} 不妨把它称作非贫困类

$X_2$ = { $s_3,s_4,s_5,s_6$} 不妨把它称作存疑贫困类

$X_3$ = { $s_7,s_8$} 不妨把它称作贫困类

随机给出一个集合X = { $s_1,s_2,s_7$} ，显然 X 是C 的粗糙集，因为不能通过组合的方法从 $X_1，X_2，X_3$ 得出 X 的。

上近似

对于上文随机给出的一个粗糙集 X={ $s_1,s_2,s_7$}：

​ 非贫困类 ： $$\{s1，s2\}\cap X=\{s1,s2\}\to X_1\cap X=\{s1,s2\}$$

​ 存疑贫困类： $$\{s3,s4,s5,s6\}\cap X=\varnothing \to X_2\cap X=Ø$$

​ 贫困类： $$\{s7,s8\}\cap X=\{s7\}\to X_3\cap X=\{s7\}$$

把 $X_1$ 和 $X_3$ 称作是 X 关于C 的上近似。记作$\overline{R}X$.

下近似

对于上文随机给出的一个粗糙集 X={s1, s2, s7}：

​ 非贫困类：{s1, s2} $\subseteq$ X → $X_1$ $\subseteq$ X
​ 存疑贫困类：{s3, s4, s5, s6} $⊈$ X → $X_2$ $⊈$ X
​ 贫困类：{s7, s8} $⊈$ X → $X_3$ $⊈$ X

把 $X_1$ 和 $X_3$ 称作是 X 关于 C 的下近似。记作$\underline{R}X$.

正域、负域、边界域

论域U被X的上近似以及下近似集划分为正域$PO{S}_R(X)$，负域$NE{G}_R(X)$以及边界域$BN{D}_R(X)$三个互不相交的区域。

正域：
$$PO{S}_R(X)=\underline{R}X$$
负域：
$$NE{G}_R(X)=U-\overline{R}X$$
边界域：
$$BN{D}_R(X)=\overline{R}X-\underline{R}X$$

不难看出
$$PO{S}_R(X)\cap NE{G}_R(X)\cap BN{D}_R(X)=U$$

系统的定义

在一个决策的信息系统S里:

论域 就是数学里的集合，我们研究的对象构成的集合。

知识 论域中的任何一个子集都可以被称作是知识，这是一种对于论域进行分类的能力，一般是由特征属性进行分类。

不可分辨关系 在指定的知识下，不可以被区分开来的对象之间构成了不可分辨关系，也就是等价关系。举个例子，如果以是否为贫困生作为标准，那么贫困生中的各个年级的学生都构成了不可分辨关系。

精确集与粗糙集 在一个知识下，如果论域可以由若干子集组合而成，那么论域就构成了精确集，否则，则为粗糙集。

上近似与下近似 上近似就是包含指定的集合X的元素最小可定义集；下近似就是包含X的最大可定义集。

知识粒度：

属性重要度：

知识粒度

在一个决策信息系统S中，存在一种知识B$\subset$C，使得 $U/B=\{x1,x2,x3,\dots ,x_m\}$，一共区分出了m个等价类。则B的知识粒度$G{P}_u(B)$为:

$$G{P}_U(B)=\sum _{i=1}^m\frac{|X_i{|}^2}{|U{|}^2}$$

在粗糙集中，等价类的知识粒度越细，划分的能力就越强，近似集就会越精确；否则，划分能力就弱，近似集越粗糙。

$$\frac{1}{|U|}\le G{P}_u(B)\le 1$$

当$U/B=\{X_1,X_2,\dots ,X_{\{}|U|\}\}$时，$|U|$是U元素的个数，这是知识粒度最小，为$\frac{1}{|U|}$，划分能力最强；当U / B = {U} ，此时知识粒度最大，为1，划分能力最弱。

$U$	$a$	$b$	$c$	$e$	$f$	$d$
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

例，在上表中，$U/C=\{\{1\},\{2,4\}\{3,5\}\{6,7\},\{8,9\}\}$

则C的知识粒度为：

$G{P}_U(C)={\sum }_{i=1}^5\frac{|X_i{|}^2}{|U{|}^2}$

C的知识粒度为：
$$\begin{gathered} G{P}_U(C)=\sum _{i=1}^5\frac{|X_i{|}^2}{|U{|}^2} \\ =\frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2} \\ =\frac{17}{81} \end{gathered}$$

相对知识粒度

若$U/P=\{X_1,X_2,X_3,\dots ,X_m\}$，$U/Q=\{Y_1,Y_2,Y_3,\dots ,Y_m\}$，则Q相对于P的相对知识粒度为：

$G{P}_U(Q|P)=G{P}_U(P)-G{P}_U(P\cup Q)$

例如上表中的数据，条件属性集C以及决策属性图D，有：

$U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}$

$U/C\cup D=\{\{1\}\{2,4\}\{3,5\},\{6,7\}.\{8\},\{9\}\}$

则D关于C的知识粒度为：

$$\begin{gathered} G{P}_U(D|C)=G{P}_U(C)-G{P}_U(C\cup D) \\ =\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \\ =\frac{2}{81} \end{gathered}$$

$G{P}_U(Q|P)$表示了Q相对于P的分类能力。$G{P}_U(Q|P)$的值越大，表示Q相对于P对于论域U的分类能力就越强；反之，分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S，U为论域，B$\subseteq$C，若$\forall a\in B$

则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为：

$Si{g}_U^{inner}=G{P}_U(D|B-\{a\})-G{P}_U(D|B)$

能力就越强；反之，分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S，U为论域，B $\subseteq$ C，若$\forall a\in B$

则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为：

$Si{g}_U^{inner}=G{P}_U(D|B-\{a\})-G{P}_U(D|B)$