[学习笔记]多项式相关运算2(求导/积分,牛顿迭代,开根,求ln/exp,快速幂,拉格朗日反演)

一年之后好不容易又有机会学多项式，接着[学习笔记]多项式相关运算1继续说。
常数巨大警告…

多项式求导&积分

计算

没学过导数积分的可以看看这篇文章。
嗯?里面没有不定积分…所以你可以直接看下面的两个式子:
$$F^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^{n}i{a}_i{x}^{i-1}$$
$$\int F(x)=\sum _{i=1}^n\frac{a_i{x}^{i+1}}{i+1}$$
容易发现它们是互逆运算。
直接算就行了。
复杂度:$O(n)$

模板

	void ploy_der(int len,int *a,int *b){
     
        for(int i=1;i<len;i++)b[i-1]=mul(i,a[i]);
        b[len-1]=0;
    }
	void ploy_cal(int len,int *a,int *b){
     
        for(int i=1;i<len;i++)b[i]=mul(a[i-1],fst_pow(i,MOD-2));
        b[0]=0;
   }

牛顿迭代

简介

牛顿迭代并不算一种多项式运算，而是一种解多项式的方法。
使用这种方法可以很容易计算多项式开根及exp等。
在学习牛顿迭代之前，你可能还要学习:
[学习笔记]泰勒多项式快速入门

问题描述

已知函数$G(x)$，求一个多项式$F(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$，满足:
$$G(F(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$

分治

其实求$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$大多都是分治法。
当$n=1$是，$G(F(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x)$这需要单独求。
$n>1$按照套路，假设$G(F_0(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$的$F_0(x)$已经解出。
注意到泰勒展开可以将$G(F(x))$中的$F(x)$换掉，我们考虑在$F_0(x)$处泰勒展开$G(F(x))$:
$$G(F(x))=G(F_0(x))+\frac{G^{\prime }(F_0(x))}{1!}(F(x)-F_0(x))+\frac{G^{\prime \prime }(F_0(x))}{2!}(F(x)-F_0(x){)}^2+...$$
根据约定我们知道$F(x)-F_0(x)$的后$\lceil \frac{n}{2}\rceil$项等于$0$，而在$(F(x)-F_0(x){)}^2$时显然$0-(n-1)$项都为$0$，在模意义下可以直接去掉。
因此有$$G(F(x))\equiv G(F_0(x))+\frac{G^{\prime }(F_0(x))}{1!}(F(x)-F_0(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
由于定义又有$G(F(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$。
于是得到$$F(x)=F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G^{\prime }(F_0(x))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
有了这东西我们其实就可以直接用公式了。

多项式开根

问题描述

给定一个多项式$A(x)$
找到另一个多项式$B(x)$
使得$B^2(x)\equiv A(x)(mod$ $x^n)$
则称$B(x)$为$A(x)$在$mod$ $x^n$意义下的平方根。
保证$a_0=1$。
[如果没有这个条件，我们可能还需要一个二次剩余才能够解决]

分治

我们再次考虑使用分治来解决这个问题。
$n=1$时,根据题目的常数项就为$1$。
$n>1$时
首先知道$B^2(x)\equiv A(x)(mod$ $x^n)$
设$B^{\prime }(x)$为$A(x)$在$mod$ $x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$的平方根，假设我们现在已经知道$B^{\prime }(x)$，则:
$B^{\prime 2}(x)\equiv A(x)(mod$ $x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$
移项$B^{\prime 2}(x)-A(x)\equiv 0(mod$ $x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$
两边同时平方$B^{\prime 4}(x)-2B^{\prime 2}(x)A(x)+A^2(x)\equiv 0(mod$ $x^n)$
前文已经说明为什么平方可以将膜长平方,这里不做赘述。
两边同时加上$4B^{\prime 2}(x)A(x)$得
$B^{\prime 4}(x)+2B^{\prime 2}(x)A(x)+A^2(x)\equiv 4B^{\prime 2}(x)A(x)(mod$ $x^n)$
配方$(B^{\prime 2}(x)+A(x){)}^2\equiv 4B^{\prime 2}(x)A(x)(mod$ $x^n)$
移项$(\frac{B^{\prime 2}(x)+A(x)}{2B^{\prime }(x)}{)}^2\equiv A(x)(mod$ $x^n)$
对比式子$B^2(x)\equiv A(x)(mod$ $x^n)$
可以发现$B(x)\equiv \frac{B^{\prime 2}(x)+A(x)}{2B^{\prime }(x)}(mod$ $x^n)$。
那么我们直接求$(2B^{\prime }(x){)}^{-1}(B^{\prime 2}(x)+A(x))$即可。
需要用到一个逆元和几个乘法。

分析一下复杂度:
$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=O(nlogn)$

牛顿迭代

我们直接套公式就好了
首先我们构造函数$G(B(x))=B^2(x)-A(x)$。
再求$G^{\prime }(B(x))=2B(x)$[把$A(x)$看成常数项]。
代入公式:
$$\begin{gathered} B(x)=B_0(x)-\frac{G(B_0(x))}{G^{\prime }(B_0(x))} \\ B(x)=\frac{B_0^2(x)+A(x)}{2B_0(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

你会发现我们得到的结果是一样的…

模板

	void ploy_sqr(int n,int *a,int *b){
     
	    static int c[MAXN+5],F[MAXN+5];
	    if(n==1){
     b[0]=1;return ;}
	    ploy_sqr((n+1)>>1,a,b);
	    fill(F,F+(n<<1),0),ploy_inv(n,b,F);
	    int len=1;while(len<(n<<1))len<<=1;
   		copy(a,a+n,c);
    	fill(c+n,c+len,0),NTT(c,len,1);
    	fill(F+n,F+len,0),NTT(F,len,1);
    	for(int i=0;i<len;i++)c[i]=mul(mul(c[i],inv2),F[i]);
    	NTT(c,len,-1);
    	for(int i=0;i<n;i++)
    	b[i]=add(mul(b[i],inv2),c[i]);
	}

多项式ln

问题描述

给出 $n-1$ 次多项式 $A(x)$，求一个 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$下的多项式 $B(x)$，满足 $B(x)\equiv \ln A(x)$.
在 $\text{mod }998244353$ 下进行，且 $a_i\in [0,998244353]\cap \mathbb{Z}$
$n\le 10^5$
保证$a_0=1$

求导

思路很简单…
为了书写方便我们令$f(x)=\ln x$。
那么原式就为$B(x)\equiv f(A(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$。
$\ln x$有一个很重要的性质就是它的导数为$\frac{1}{x}$，这样我们就把$\ln$去掉了。
因此对原式求导[用到了复合函数求导，上一部分有]:
$$\begin{gathered} B^{\prime }(x)\equiv f^{\prime }(A(x))A^{\prime }(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ {B}^{\prime }(x)\equiv \frac{A^{\prime }(x)}{A(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ B(x)\equiv \int \frac{A^{\prime }(x)}{A(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$
于是多项式导数&积分+多项式求逆就好了。
细节:

其实我们求导+积分是会把常数项给去掉的，所以这题钦定了常数项为$a_0=1$，这时候$\ln (1)=0$，所以我们直接在积分结束后将常数项设为$0$即可。

复杂度:$O(n\log n)$

模板

	void ploy_ln(int n,int *a,int *b){
     
 	   	static int A[MAXN+5],B[MAXN+5];
 	   	fill(A,A+(n<<1),0),fill(B,B+(n<<1),0);
 	   	ploy_der(n,a,A),ploy_inv(n,a,B);
 	   	int len=1;while(len<(n<<1))len<<=1;
  	  	NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
  	  	for(int i=0;i<len;i++)A[i]=mul(A[i],B[i]);
    	NTT(A,len,-1),ploy_cal(n,A,b);
	}

多项式exp

问题描述

给出 $n-1$ 次多项式 $A(x)$，求一个 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$下的多项式 $B(x)$，满足 $B(x)\equiv {\text{e}}^{A(x)}$。系数对 $998244353$ 取模。
保证$a_0=0$[跟上面一样的道理]

牛顿迭代

转化一下式子:
$$\ln B(x)-A(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
同样地，构造函数$G(B(x))=\ln B(x)-A(x)$。
求$G^{\prime }(B(x))=\frac{1}{B(x)}$。
$$\begin{gathered} B(x)=B_0(x)-\frac{G(B_0(x))}{G^{\prime }(B_0(x))} \\ B(x)=B_0(x)(1-\ln B_0(x)+A(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$
然后就没了，需要用到多项式ln和。
复杂度同样是$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=O(nlogn)$。

模板

	void ploy_exp(int n,int *a,int *b){
     
    	static int F[MAXN+5];
    	if(n==1){
     b[0]=1;return ;}
    	ploy_exp((n+1)>>1,a,b);
    	fill(F,F+(n<<1),0),ploy_ln(n,b,F);
    	for(int i=0;i<n;i++)F[i]=dec(a[i],F[i]);
    	F[0]=add(F[0],1);
    	int len=1;while(len<(n<<1))len<<=1;
    	fill(b+n,b+len,0),NTT(b,len,1);
    	fill(F+n,F+len,0),NTT(F,len,1);
    	for(int i=0;i<len;i++)b[i]=mul(b[i],F[i]);
    	NTT(b,len,-1),fill(b+n,b+len,0);
	}

多项式快速幂

问题描述

给定一个$n-1$ 次多项式$A(x)$，求一个在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$意义下的多项式$B(x)$，使得$B(x)\equiv A^k(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$。
多项式的系数在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}998244353$的意义下进行运算。

计算

很简单，我们之前学了求ln,exp，所以直接换底就行了。
$$\begin{gathered} G(x)=F^k(x) \\ \ln G(x)=k\ln F(x) \\ G(x)=e^{k\ln F(x)} \end{gathered}$$
复杂度:$O(n\log n)$。

模板

	void ploy_ksm(int n,int k,int *a,int *b){
     
        static int C[MAXN+5];
        ploy_ln(n,a,C);
        for(int i=0;i<n;i++)C[i]=mul(C[i],k);
        ploy_exp(n,C,b);
    }

拉格朗日反演

简介

若两个多项式$f(x),g(x)$，满足都没有常数项且一次项系数互为逆元，且$f(g(x))=x$，那么称$f(x)$为$g(x)$的复合逆。
根据反演这个名字我们也知道$f(g(x))$会等于$g(f(x))$。
然后就有结论:

$$[x^n]f(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{g(x)}{)}^n$$
还有一个叫扩展拉格朗日反演的东西:
$$[x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H^{\prime }(x)(\frac{x}{G(x)}{)}^n$$
PS:$[x^n]f(x)$表示$f(x)$第$n$项的系数。

证明???很多知识都没学过…就算了吧…
细节:

注意到根据定义$g(x)$是没有常数项的，因此没有$g(x)$的逆元，所以我们一般在做拉格朗日反演之前对多项式向右平移一位再求逆。

复杂度:$O(n\log n)$

模板

	int ploy_Lagrange(int n,int k,int *a){
     
        static int C[MAXN+5],D[MAXN+5];
        ploy_inv(n,a,C);
        ploy_ksm(n,k,C,D);
        return mul(D[k-1],pinv[k]);
    }

简单总结-多项式全家桶

名称	公式	解决方法	复杂度
多项式乘法	$F(x)=A(x)B(x)$	NTT/FFT	$O(n\log n)$
多项式求逆	$B(x)\equiv 2B_1(x)-B_1^2(x)A(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$	分治+多项式乘法	$O(n\log n)$
多项式除法	$A^R(x)B^{R^{-1}}(x)\equiv D^R(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n-m+1})$	多项式求逆	$O(n\log n)$
多项式取模	$P(x)=A(x)-D(x)B(x)$	多项式乘法	$O(n\log n)$
多项式求导	$F^{\prime }(x)={\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i{x}^{i-1}$直接算	——	$O(n)$
多项式积分	$\int F(x)={\sum }_{i=1}^n\frac{a_i{x}^{i+1}}{i+1}$直接算	——	$O(n)$
多项式开根	$B(x)\equiv \frac{B_1^2(x)+A(x)}{2B_1(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$	分治+多项式求逆	$O(n\log n)$
多项式ln	$ln(F(x))=\int F^{\prime }(x)F^{-1}(x)$	多项式求逆	$O(n\log n)$
多项式exp	$F(x)\equiv F_0(x)(1-\ln F_0(x)+A(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$	多项式ln	$O(n\log n)$

多项式多点求值

分成点集$X^{[0]}=\{x_0,x_1,x_2,...,x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\}$
$X^{[1]}=\{x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1},x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2},x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +3},...,x_{n-1}\}$
构造多项式:$P^{[0]}(x)={\prod }_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(x-x_i)$和$P^{[1]}(x)={\prod }_{i=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1}^n(x-x_i)$
有$A^{[0]}(x)\equiv A(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{P}^{[0]}(x))$和$A^{[1]}(x)\equiv A(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{P}^{[1]}(x))$
分治即可(打不打得出来我也不知道了qwq…)
复杂度:$O(n{\log }^{2}n)$

多项式快速插值

分成点集$X^{[0]}=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor },y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor })\}$
$X^{[1]}=\{(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1},y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1}),(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2},y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2}),...,(x_{n-1},y_{n-1})\}$
构造多项式:$X^{[0]}=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor },y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor })\}$
$X^{[1]}=\{(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1},y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1}),(x_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2},y_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2}),...,(x_{n-1},y_{n-1})\}$
设$A(x),A^{[1]}(x)$都未知。
有$A^{[1]}(x_i)=\frac{y_i-A[0](x_i)}{P(x_i)}$
可以得到一个新的点集$X^{\prime [1]}$。
用插值法求出$A^{[1]}(x)$,再求$A(x)$。
[现在都没调出来…]
复杂度:$O(n{\log }^{2}n)$

感谢

感谢以下dalao的帮助:
1.Miskcoo大佬:牛顿迭代法在多项式运算的应用
2.CaptainHarryChen学长:多项式的各种操作（逆元，除法，取模，开根，对数，exp，多点求值，插值，牛顿迭代法）
3.alan_cty大佬:拉格朗日反演
同时,也用作学习资料供大家参考。

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