P1002 过河卒（DP）

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题目描述

棋盘上 A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，A 点 (0, 0)、B 点 (n, m)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 B 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

输入输出样例

输入 #1

6 6 3 3

输出 #1

6

说明/提示
对于100%的数据,
1 <= n , m <= 20,
1 ≤ n , m ≤ 20,
0 ≤ 马的坐标 ≤ 20。

【题目来源】
NOIP 2002 普及组第四题

思路讲解

这是一个经典的入门动规題。一开始做这题直接联想到的是“走迷宫”，于是用DFS去做了，结果未AC，只有40分，有两个RE，一个TLE。
回过头来仔细审题：卒只能向下或向右走，那么每个位置只能由这个位置的左边或上面一个位置达到。满足最优子结构问题条件。用动规可以解决。
我们定义一个ｆ数组，f [ i ] [ j ]表示达到( i , j )这个位置的方案数。如果终点坐标为( n , m )则答案即为f [ n ] [ m ]。
关键是找递推式。其实很简单，因为那么每个位置只能由这个位置的左边或上面一个位置达到，所以一般的f [ i ] [ j ]=f [ i -1] [ j ] + f [ i ] [ j -1]。
其次就是要处理障碍点。可以将起点和终点之间的障碍点处的f [ i ] [ j ]设为-1。
还要注意数组越界的坑；答案要用long long，在此题的数据范围中，最大的答案大到137846521561，这个数字用int已经存不下了。

代码实现

DFS（未AC,40分）

//未 AC （DFS） 
#include
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int edx,edy,mx,my;
int dx[9]={
     0,1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
int dy[9]={
     0,2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
int v[MAXN][MAXN];//有无障碍 
int flag[MAXN][MAXN];
int ct=0;
int dxz[2]={
     1,0};
int dyz[2]={
     0,1};
void DFS(int x,int y) //当前位置
{
     
	if(x==edx&&y==edy) 
	{
     
		ct++;
		return;
	}
	if(x>edx || y>edy) return;
	int tx,ty;
	for(int i=0;i<=1;i++)  //换成两个 if还能再过一组数据 
	{
     
		tx=x+dxz[i];
		ty=y+dyz[i];
		if(flag[tx][ty]==0&&v[tx][ty]==0&&tx<=edx&&ty<=edy)
		{
     
			flag[tx][ty]=1;
			DFS(tx,ty);
			flag[tx][ty]=0;
		}
	}
} 
int main()
{
     
	scanf("%d%d%d%d",&edx,&edy,&mx,&my);
	memset(flag,0,sizeof(flag));
	memset(v,0,sizeof(v));
	for(int i=0;i<=8;i++)
		v[mx+dx[i]][my+dy[i]]=-1; //障碍点 
	flag[0][0]=1;
	DFS(0,0);
	printf("%d",ct);
	return 0;
}

AC代码(动规)

//AC （DP） 
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=25;
int dx[8]={
     1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};//除马本身外的八个点 ，别漏掉马本身 
int dy[8]={
     2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
long long f[MAXN][MAXN]; //走到某点的方案数 
int n,m,x,y;
int main()
{
     
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
    f[x][y]=-1;
    for(int i=0;i<8;i++)
    if(x+dx[i]>=0&&x+dx[i]<=n&&y+dy[i]>=0&&y+dy[i]<=m) //判断控制点是否在起点与终点之间，否则会RE 
       f[x+dx[i]][y+dy[i]]=-1; // 走不通 用-1 表示，用 0不好处理起点是否为控制点！ 
    if(f[0][0]!=-1)
    {
     
        f[0][0]=1;//递推初始状态，到起点只有1种方法
        for(int i=0;i<=n;i++) 
			for(int j=0;j<=m;j++)
	            if(f[i][j]!=-1)
	            {
     
	                if(i&&f[i-1][j]!=-1) f[i][j]+=f[i-1][j];//只能从两个方向接近（左、上） 
	                if(j&&f[i][j-1]!=-1) f[i][j]+=f[i][j-1];
	            }
        printf("%lld\n",f[n][m]);
    }
    else printf("0\n");
    return 0;
}