算法训练营（二） 复杂度分析、递归

算法效率的度量方法

所谓算法，是指基于特定的计算模型，旨在解决某一信息处理问题而设计的一个指令序列。

在程序编写前，需要依据统计方法对算法进行估算。

 

1.1 影响执行速度的因素

• 算法采用的策略方案

• 编译产生的代码质量

• 问题的输入规模

• 机器执行指令的速度

 

1.2 时间复杂度和空间复杂度

• 基础概念：https://www.zhihu.com/question/21387264

1. 写程序时需要分析时间和空间复杂度

2. 掌握一两种编程工具，刻意练习到熟练

 

 

 

 

1.3 递归

分支转向是算法的灵魂；函数和过程及其之间的相互调用，是在经过抽象和封装之后，实现分支转向的一种重要机制；而递归则是函数和过程调用的一种特殊形式，即允许函数和过程进行自我调用。

递归的价值在于，许多应用问题都可简洁而准确地描述为递归形式。以操作系统为例，多数文件系统的目录结构都是递归定义的。具体地，每个文件系统都有一个最顶层的目录，其中可以包含若干文件和下一层的子目录；而在每一子目录中，也同样可能包含若干文件和再下一层的子目录；如此递推，直至不含任何下层的子目录。

递归也是一种基本而典型的算法设计模式。这一模式可以对实际问题中反复出现的结构和形式做高度概括，并从本质层面加以描述与刻画，进而导出高效的算法。

 

 

1.3.1 线性递归

数组求和

1 int sum(int A[], int n) { //数组求和算法
2     if (1 > n) 
3         return 0; //直接计算
4     else //一般情况
5         return sum(A, n - 1) + A[n - 1]; 
6 } //O(1)*递归深度 = O(1)*(n + 1) = O(n)

由此实例，可以看出保证递归算法有穷性的基本技巧：

首先判断并处理n = 0之类的平凡情况，以免因无限递归而导致系统溢出。这类平凡情况统称“递归基”（base case of recursion）。平凡情况可能有多种，但至少要有一种（比如此处），且迟早必然会出现。

 

线性递归

算法sum()可能朝着更深一层进行自我调用，且每一递归实例对自身的调用至多一次。于是，每一层次上至多只有一个实例，且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式因而称作“线性递归”（linear recursion），它也是递归的最基本形式。

 

减而治之

线性递归的模式，往往对应于所谓减而治之（decrease-and-conquer）的算法策略：递归每深入一层，待求解问题的规模都缩减一个常数，直至最终蜕化为平凡的小（简单）问题。

 

 

 

1.3.2 递归分析

递归算法时间和空间复杂度的分析与常规算法很不一样，有其自身的规律和特定的技巧，以下介绍递归跟踪与递推方程这两种主要的方法。

 

递归跟踪

作为一种直观且可视的方法，递归跟踪（recursion trace）可用以分析递归算法的总体运行时间与空间。具体地，就是按照以下原则，将递归算法的执行过程整理为图的形式：

 

递推方程

递归算法的另一常用分析方法，即递推方程（recurrence equation）法。

递归算法的另一常用分析方法，即递推方程（recurrence equation）法。与递归跟踪分析相反，该方法无需绘出具体的调用过程，而是通过对递归模式的数学归纳，导出复杂度定界函数的递推方程（组）及其边界条件，从而将复杂度的分析，转化为递归方程（组）的求解。

递归算法所消耗的空间量主要取决于递归深度。因其高度的抽象性和简洁性，递归已成为多数高级程序语言普遍支持的一项重要特性。

递归的时间复杂度求解

因为递归每一层的计算次数都是上一层需要计算次数的二倍，因此递归的时间复杂度是2的n次幂

 

 

 

1.3.3 leetcode习题

 

1. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

思路

1.动态规划

爬到N阶，可以从第N-1阶爬1步，也可以从第N-2阶爬2步。也就是说到N阶的方式有f(N-1)+f(N-2)种方式（因为要么1步，要么2步），后面一次类推。可以看出这是个菲波那切数列。每次的结果都是前两次结果的总和。

答案：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;

        int res = 0, index = 2, i = 1, j = 2;
        while(index