求一个任意实数的算术平方根的算法设计_面试向算法 二分法专题(二）
前言
在我看来，大部分面试的算法题从来都不是难在思维，而是缺乏系统的教学。它不像数学属于普及的基础教育，算法题目的大部分知识、技巧往往都局限于 competitive programming 当中 (比如各种 OI 竞赛、 ACM 竞赛等)，这些都是大部分计算机行业从业者接触不到的。它就像一个大群体中一个半封闭的小群体一样，系统的知识就在那里，只是我们很少会主动走进去。因此，我期望将这些知识给带出来，就引申出了本系列文章和视频。
在 《二分法(一)》当中我们已经分别讲解了：
- 整数域二分的两种模板
- 实数域二分的模板
- 二分算法的一种实际应用
那么，本篇的主要内容即是对剩下的四种应用进行深入分析。
- 对结果进行二分(值域上二分)
- min(max()) 和 max(min())
- 最大/最小平均值(max/min average)
- 特殊第 K 小问题
注意：搭配 B 站视频更香奥！
正文
类型二：对结果进行二分
这类问题仍然属于最优化问题，该问题的所有方案组成问题的 值域，需要求所有方案中的最优方案。
而上述通过二分法能够处理的最优化问题需要满足：值域 满足某种特殊的单调性。用更加详细的话讲，就是能够通过题目特性将值域分成两个区间，一个区间满足特性，另外一个区间不满足特性
我们来看具体的例子：leetcode: 1011. 在 D 天内送达包裹的能力[1]
(图 5.1)
题目需要求 D 天内能够传送所有包裹的最低运载能力，假设这个 最低运载能力 为 x。那么很显然 x+1 也能够在 D 天内运完所有包裹。因此本题的 check 特性 就是 能在 D 天内运完所有包裹。我们可以根据该特性将值域分为两个区间：
(图 5.2)
那么值域的范围是多少呢？左边界肯定不能 ; 右边界最快可以一次运完所有的包裹，也就是 。所以值域是 。
这里值得注意的是，有些题目不会给出右边界，因此我们需要根据经验写出右边界，比如 等。
分析到这里，算法思路就结束了。最后结果 是 右区间的左端点，可以通过模板一来写。而 check() 方法可以很容易根据定义用贪心写出来。
def check(x):
cnt = 0 # 统计传输天数
curr = 0 # 当前的重量，不能超过 x
for t in weights:
if t > x: return False # 如果单个物品超过 x, 很明显表示该运载能力不够
curr += t # 加上当前物品，看看是否会超重，超重的部分下一次再运
if curr == x:
cnt += 1
curr = 0
elif curr > x:
cnt += 1
curr = t
if curr > 0: cnt += 1 # 最后还剩余 curr(不超过运载能力)，只能放在下一次再运
return cnt <= D # 根据判断总运输天数是否超过 D，来判断该 x 能够满足要求
本算法的时间复杂度为 , 而 一般都不会很大(比如 )。
有同学可能会问，该题的暴力朴素解法是什么？
- 其实也很简单，组合数学。将数组切分成 D 个区间，不同的切分方式为不同的方案。最优方案是 切分区间，复杂度为 , 阶乘级别。
而我们根据题目中隐含的单调性将复杂度极大地降低，下面我们来看看同类型的其他题目，首先给出个定义。
在值域上二分的这类题目，其代码区别主要在 check 方法，不同的题目会结合其他算法来进行考察。比如 leetcode: 778. 水位上升的泳池中游泳[2]
(图 5-3)
本题看似是个 hard 级别难度，如果你理解上上述的思路后，本题就变成了一个 easy 级别的。
同样来分析题目，假设最少耗时为 t, 很明显 t+1 也能够到达右下角，而 t-1 不能。所以本题 值域是满足单调性的。
所以我们可以二分值域，答案就是右区间的左端点。而本题不一样的是 check() 方法，我们需要通过 dfs 来判断值域中的值是否满足题目要求。
l = 0 # 二分部分
r = 2500
while l mid = (l+r)//2
if check(mid): r = mid
else: l = mid+1
return l
def check(t):
if t 0][0]: return False # 特判 (0, 0) 点
vis = [[False]*n for i in range(n)] # 保存当前节点是否被访问过
dx = [1, -1, 0, 0] # 常见 dfs 写法
dy = [0, 0, 1, -1]
vis[0][0] = True
def dfs(x, y): # dfs 过程
if x == n-1 and y == n-1: # 到达右下角
return True
for i in range(4):
x1 = dx[i] + x
y1 = dy[i] + y
if x1 >= 0 and x1 and y1 >= 0 and y1 and not vis[x1][y1] and grid[x1][y1] <= t:
vis[x1][y1] = True
if(dfs(x1, y1)): return True
return False
if dfs(0, 0): return True # 调用 dfs
else: return False
由于到目前为止，dfs 我们还没有讲过，所以这里就不详解介绍了，后续课程再说。
理解了本类题型，下面 18 道题目就很简单了，作为课后习题留给大家。
- leetcode: 1482. 制作 m 束花所需的最少天数[3]
- leetcode: 1292. 元素和小于等于阈值的正方形的最大边长[4]
- leetcode: 875. 爱吃香蕉的珂珂[5]
- leetcode: 287. 寻找重复数[6]
- acwing(头条 2019 笔试):680. 剪绳子[7]
- acwing(第八届蓝桥杯): 1227. 分巧克力[8]
- acwing(头条 2019 笔试): 730. 机器人跳跃问题[9]
- acwing: 1028. 复制书稿[10]
- codeforces edu 8 道题目[11]
- leetcode: 793. 阶乘函数后K个零[12]
- leetcode: 719. 找出第 k 小的距离对[13]
类型三：
另一类可以被单独拿出来的问题被称为求 。这类问题的出现频率很高且可以通过二分法来解决。
我们先通过一道简单的题目来看看为什么被称为 - leetcode: 410. 分割数组的最大值[14]。
图 5-4
(图 5-4)
本题虽然标为 hard 级别，但仍然属于入门的难度。根据题意，需要设计一个算法，使 m 个子数组各自和的最大值最小，转换为更简单的公式就是：，这里假设最终结果为 t，可以直接得出下面三个推论：
- 一定存在一种切割方式使得 ，该切割方式可以很容易通过贪心来获取(具体后面再讲)。
- 一定存在切割方式使得满足 ，
- 一定不存在切割范式使得 (这里 为正数且合法)，因为 已经是可切割中方式的最小了。
所以， 的值域范围是存在单调性的。
存在切割方式不存在切割方式而我们求的 是右区间的左端点，用整数域二分模板一就在合适不过了。
而具体的值域为 。
代码的主要区别仍然是在 check() 方法的实现上。前面我们有讲过，可以通过贪心来实现。具体为什么呢？尽管贪心的数学证明一直是个不太好处理的事(一般通过反证法或者构造法来证明)。我们仍然可以构造出贪心策略来 - 每次切割时使切割开的区间和尽可能靠近传入的 。如下代码所示：
def check(x: int) -> bool:
total, cnt = 0, 1 # cnt 为 1 是由于剩下最后的部分没有处理
for num in nums:
if total + num > x:
cnt += 1
total = num
else:
total += num
return cnt <= m
下面我们看一道 NOIP 2015 提高组 的一道题 - acwing: 519. 跳石头[15]。
(图 5-5)
题目要求给出 最多移走 M 块石头之后，最短跳跃距离的最大值，转换成公式就是 。
假设该值为 ，同样可以得出 3 个推论：
- 存在一种或多种移动方法使得 。
- 一定不存在移动方法使得
- 一定存在某种移动方式使得
值域满足单调性，可以根据是否存在移动方法将 的值域范围分为两个区间。
很明显，这是求左区间的右端点，用模板二的代码即可。稍微变化的仍然是 方法，贪心即可。
def check(x):
cnt = 0 # 统计需要移动的石头数量
last = 0 # 上一个未移动的石头位置
for i in range(1, n+1):
if d[i] - last # 如果当前石头到上一个未移动石头距离不足 x，则当前石头需要被移走
cnt += 1
else:
last = d[i]
return cnt <= m
是不是很简单就解决了看似 hard 级别的题目，如果题目想出的更加复杂一点，可以将二分和图论结合，比如课后习题中的一道，这里就不讲了(如果不会，可以在答疑群里面提出)
课后习题(6 道)
- leetcode plus: 774. minimize-max-distance-to-gas-station[16]
- acwing: 2436. 串分割[17]
- codeforces 4 道经典题目[18]
类型四 - 求最大平均值 / 最小平均值
第四类可以通过二分法可以解决的有趣问题就是 最大平均值/最小平均值。举个抽象的例子，假设存在一个数组 ，我们期望找到一个连续区间 ，该区间的大小至少是 ，需要求所有可能区间的最大平均值。这也是 luogu: 1404. 求平均值(poj2018)[19] 的题意。
(图 5-6)
题意告诉我们每个可能方案需要满足 区间大小 ，那么暴力朴素的思路是什么？
枚举所有可能的方案，而方案数为 , 而判断单个方案的时间复杂度是多少呢？
朴素做法是 , 使用前缀和技巧 达到 。尽管前缀和又花了单个方案判断，但是总方案数仍然能够达到 级别(比如 )，肯定会超时的。
我们将上述题意用公式表示出来就是：，假设结果为 ，得到三个推论：
- 一定存在一种方案满足
- 一定不存在方案满足
- 一定存在方案满足
很显然， 的值域 具有单调性，可以划分为两个区间：(这里使用 是因为本题值域不会覆盖整个实数域，只是实数域上的某些点，所以用更加宽松的判断)
由于 的 值域 是实数域，所以我们可以直接套用 实数二分模板即可。
那么该如何判断某个值 是否存在方案呢？ - 也就是 方法该如何实现？
对于所有 最大平均值/最小平均值 的思路是类似的(大家多手推几遍就有感觉了，算是通用思路)，需要进行如下图 5-7 所示的变形即可：
(图 5-7)
在这里，我们运用了简单的 一维前缀和 和 贪心 的优化(具体技巧在后续课程会详细讲解)，将 的时间复杂度降低到 ，总的时间复杂度为 。
def check(x):
s = [0] * (n+1)
minV = [0] * (n+1)
for i in range(1, n+1):
s[i] = s[i-1] + a[i] - x
minV[i] = min(minV[i-1], s[i])
for i in range(m, n+1):
if s[i] - minV[i-m] >= -1e-6: # 值得注意，由于是浮点数，所以在一定范围保证精确即可
return True
return False
最后由于我们要取下底取整，需要 math.floor(r*1000)。
题目 acwing: 02. 最佳牛围栏[20] 就是直接对上题进行了描述的替换，思路和分析模型完全一模一样，这里就不再重复了。
本题除了二分，还有通过斜率求解的 的解法
同样，如果我们想要稍微增加本类题目的难度，可以将其与其他基础算法结合，比如图论，同样的课后习题中 codeforces edu 中有一题即使如此。
课后习题(共 6 题)：
- acwing: 2430. 送礼物[21]
- 某公司笔试题[22]
- acwing: 361. 观光奶牛(图+二分)[23]
- codeforces 3 道经典题目[24]
类型四 - 求某种特殊的第 k 大 / 小
最后一类要介绍的是在一个或多个有序数组中寻找合并后的第 大或第 小。通常求第 小我们会立刻想到前面讲的 快速选择算法 或者还未讲到的 堆 来实现， 但是下面要讲的题目无法非常方便的通过这两种算法来求解(要么时间复杂度过大、要么代码实现过于复杂)。
我们先来看 leetcode: 668. 乘法表中第k小的数[25]：
(图 5-8)
朴素方式是先将所有序列合并然后直接得出 第 k 小数，如果合并方式是 堆 的方式，那么时间复杂度为 ，显然会超时，另外申请过大的内存同样是个问题。
根据题意，第 小数的值域范围是 (范围内的所有整数值都可能成为答案)
假设第 小数为 ，可以得出两个结论：
- 对于任意的 ，那么其在整个序列中 的元素个数大于 个
- 对于任意的 ，那么其在整个序列中 的元素个数小于 个
所以，上面两个结论对于整个值域是具有单调性的，比如我们可以构造： 将值域划分成两个区间， 统计序列中 的元素个数。而最终结果就是 右区间的左端点(构造左区间右端点也同样的思路)。
那么如何快速求得 呢？
本类题目的第二个特性就是有序序列符合某种连续性。
比如乘法表：
- 第一行有序序列： 中的所有整数。
- 第二行有序序列： 中的所有整数。
- 第 行有序序列： 中的所有整数。
因此，我们可以在 求得每一行符合要求的元素个数，最终 的时间复杂度就是 ，那么算法总体的时间复杂度就是
def check(x):
cnt = 0
for i in range(1, m+1):
cnt += min(x // i, n)
return cnt >= k
非常容易的就通过二分思路解决看似 hard 级别的题目。
下面我们来看一道稍微变化的题目，leetcode: 878. 第 N 个神奇数字[26]，虽然是 hard 级别，但是难度仍然不高：
(图 5-9)
朴素做法是在 范围内一个个判断元素是否满足 神奇的 特性，统计的策略是：
- 统计能被 整除的
- 统计能被 整除的
- 去掉能同时被 和 整除的(两者的最小公倍数)
但是该时间复杂度达到 , 肯定会超时。
那么题意是否有什么特性来降低复杂度呢？假设第 个神奇数字为 。那么可以得到：
- 的神奇数字个数一定
- 的神奇数字个数一定
那么根据上面的特性将 所在的值域划分为两个区间，也就是符合单调性。因此我们可以构造 方法为 ，这样最终答案就是 右区间的左端点，使用模板一代码即可。
def gcd(a, b):
return gcd(b, a % b) if b else a
def check(x):
cnt = x // A + x // B - x // LCM
return cnt >= N
l = 1
r = N * min(A, B)
LCM = A // gcd(A,B) * B
求最小公倍数，我们就直接通过欧几里得算法求出最大公约数来得到了。
课后习题(共 5 题)：
- leetcode: 786. 第 K 个最小的素数分数[27]
- acwing: 1236. 递增三元组[28]
- codeforces 3 道经典题目[29]
其他涉及题目
在算法题目中结合多种技巧解决一道题目是很常见的事，下面就给大家列举一些二分法结合其他算法的题目，这些题目就不讲解了，有问题可以在答疑群里面提出来。
数学+二分：
- leetcode: 483. 最小好进制[30]
- 628. 美丽的数(google kickstart 2016 round E problem B)[31]
二分+dp： acwing: 472. 跳房子[32]
二分+差分：acwing: 503. 借教室[33]
贪心+二分： LIS 问题(动态规划专题讲解)
总结
二分法专题到这里就基本结束了，本专题总共涉及到 60 道 题目，以 LeetCode 难度划分基本属于 hard 和 medium 偏上的题目，类似的题目还有很多，但是基本都大同小异。掌握了本篇的这几种主要题型，相信大家以后再面对二分类题目时就可以信手拈来了。
最后我们再回顾下我们的内容：通常我们将二分法分为整数域上的二分和实数域上的二分。
- 整数二分的细节在于终止边界、左右区间取舍时的开闭情况，来避免漏掉答案或者造成死循环。模板一 和 模板二
- 实数二分的细节在于精度问题
通用 5 种二分类型题目为：
- 明显二分问题(题面上能一下看出二分的)
- 对结果进行二分(值域上二分)
- min(max()) 和 max(min())
- 最大/最小平均值(max/min average)
- 特殊第 K 小问题
参考资料
[1]leetcode: 1011. 在 D 天内送达包裹的能力: https://leetcode-cn.com/problems/capacity-to-ship-packages-within-d-days/
[2]leetcode: 778. 水位上升的泳池中游泳: https://leetcode-cn.com/problems/swim-in-rising-water/
[3]leetcode: 1482. 制作 m 束花所需的最少天数: https://leetcode-cn.com/problems/minimum-number-of-days-to-make-m-bouquets/
[4]leetcode: 1292. 元素和小于等于阈值的正方形的最大边长: https://leetcode-cn.com/problems/maximum-side-length-of-a-square-with-sum-less-than-or-equal-to-threshold/
[5]leetcode: 875. 爱吃香蕉的珂珂: https://leetcode-cn.com/problems/koko-eating-bananas/
[6]leetcode: 287. 寻找重复数: https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number/
[7]acwing(头条 2019 笔试):680. 剪绳子: https://www.acwing.com/problem/content/682/
[8]acwing(第八届蓝桥杯): 1227. 分巧克力: https://www.acwing.com/problem/content/description/1229/
[9]acwing(头条 2019 笔试): 730. 机器人跳跃问题: https://www.acwing.com/problem/content/description/732/
[10]acwing: 1028. 复制书稿: https://www.acwing.com/problem/content/description/1030/
[11]codeforces edu 8 道题目: https://codeforces.com/edu/course/2/lesson/6/2/practice
[12]leetcode: 793. 阶乘函数后K个零: https://leetcode-cn.com/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/
[13]leetcode: 719. 找出第 k 小的距离对: https://leetcode-cn.com/problems/find-k-th-smallest-pair-distance/
[14]leetcode: 410. 分割数组的最大值: https://leetcode-cn.com/problems/split-array-largest-sum/
[15]acwing: 519. 跳石头: https://www.acwing.com/problem/content/521/
[16]leetcode plus: 774. minimize-max-distance-to-gas-station: https://leetcode-cn.com/problems/minimize-max-distance-to-gas-station/
[17]acwing: 2436. 串分割: https://www.acwing.com/problem/content/description/2438/
[18]codeforces 4 道经典题目: https://codeforces.com/edu/course/2/lesson/6/3/practice
[19]a_0, a_1, ... , a_{n-1}]，我们期望找到一个连续区间[l, r]，该区间的大小至少是m$，需要求所有可能区间的最大平均值。这也是 [luogu: 1404. 求平均值(poj2018): https://www.luogu.com.cn/problem/P1404
[20]acwing: 02. 最佳牛围栏: https://www.acwing.com/problem/content/description/104/
[21]acwing: 2430. 送礼物: https://www.acwing.com/problem/content/description/2432/
[22]某公司笔试题: https://www.acwing.com/community/content/537/
[23]acwing: 361. 观光奶牛(图+二分): https://www.acwing.com/problem/content/description/363/
[24]codeforces 3 道经典题目: https://codeforces.com/edu/course/2/lesson/6/4/practice
[25]leetcode: 668. 乘法表中第k小的数: https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-number-in-multiplication-table/
[26]leetcode: 878. 第 N 个神奇数字: https://leetcode-cn.com/problems/nth-magical-number/
[27]leetcode: 786. 第 K 个最小的素数分数: https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/
[28]acwing: 1236. 递增三元组: https://www.acwing.com/problem/content/description/1238/
[29]codeforces 3 道经典题目: https://codeforces.com/edu/course/2/lesson/6/5/practice
[30]leetcode: 483. 最小好进制: https://leetcode-cn.com/problems/smallest-good-base/
[31]628. 美丽的数(google kickstart 2016 round E problem B): https://www.acwing.com/problem/content/description/630/
[32]acwing: 472. 跳房子: https://www.acwing.com/problem/content/description/474/
[33]acwing: 503. 借教室: https://www.acwing.com/problem/content/description/505/
