高斯消元
高消一直是ACM中高层次经常用到的算法，虽然线性代数已经学过，但高消求解的问题模型及高消模板的应用变化是高消的最复杂之处。
先介绍一下高消的基本原理：引入互联网czyuan的帖子：
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。
以上czyuan帖子的基本原理就介绍完了。
--------------------------我对上面的步骤做一下说明-------------------------------------------
高斯消元求解的详细步骤：
1） 不用说了，对增广矩阵先消元，化为行阶梯矩阵。
很多人认为这就行了，但有时存在如下情况：
1 2 3 4 3
0 1 2 3 3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
消元后的矩阵化为行阶梯，上面主对角线元素的主元并没有连续，还应将第4列和第3列交换才行。
这是网络上很多的模板所没有的，也是造成关键时候出错的根源所在。
所以模板还要增加对列进行检查的代码。
2） 消元完成后，判断是否有解，分三种，无解，有1个解和有无穷多解。
3） 对于有唯一解和有无穷多解的时候，都要回带。
啥是回带？ 详细说明之。
1 2 3 4 3 1 2 4 3 3
0 1 2 3 3 0 1 3 2 3
0 0 0 1 2--------》 0 0 1 0 2 ------》消元后的矩阵------发现有无穷解
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
（行阶梯） （交换列）
因为4个变量，才3行，4-3=1> 0 ,有无穷多解啊。
如果第4行不都是0，回带可以求出这个唯一解。如下：
X1 x2 x3 x4 b1
0 x2 x3 x4 b2
0 0 x3 x4 b3
0 0 0 x4 b4
最后1行，有x4=b4;
第3行： x4+x3=b3,已经求出x4=b4了，带入第3行，可求出x3;同理，把x4 x3 带入第2行，还可求出x2;把x4 x3 x2 带入到第1行，可求出x1;
这就是回带。
回带总结：从最后1行，逐一往回带，从最后1行代回到第1行。
最关键的时候到了：当无穷多解时，最后几行都是0；没法回带；而某些题目在无穷多解时还要你求最小或最优解，没办法，就得枚举最后行为0的那几个解；
如：
1 2 4 3 3
0 1 3 2 3
0 0 1 0 2
0 0 0 0 0
可见最后的x4没法解，如果题中给定x4的范围，那就枚举x4，然后回带；枚举1次x4就回带1次得到一组（x1 x2 x3 x4 ）;然后根据题意找最优的，具体题目具体分析。
说得够详细的了，下面拿出有效的高消模板：
-----------------------------------再次复习过程--------------------------------------------------------------
确定系数矩阵和增广矩阵
消元
If 如果有系数矩阵=0，增广矩阵不为0，则无解；
{
例： 0 0 0 0 2
有这样的行就没解，0*x1+0*x2+0*x3+0*x4=2;没这样的x
}
If (var-k>0) //有多个解//var 变量数，k是主对角线上连续1的个数
{
枚举最后几行（全为0） 的那几个解；枚举或dfs都行
回带可以求出很多组解；
}
If (var-k==0) //唯一解
{
直接回带
}
-----------------------------复习完成----------------------------------------------------------------------
----------------------------------下为模版-------------------------------------------------------
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];//a是系数矩阵和增广矩阵，x是最后存放的解 // a[][maxn]中存放的是方程右面的值（bi） int equ,var;//equ是系数阵的行数，var是系数矩阵的列数（变量的个数） int free_num,ans=100000000; int abs1(int num) //取绝对值 { if (num>=0) return num; else return -1*num; } void Debug(void) //调试输出，看消元后的矩阵值，提交时，就不用了 { int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl; } inline int gcd(int a, int b) //最大公约数 { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) //最小公倍数 { return a * b / gcd(a, b); } void swap(int &a,int &b){int temp=a;a=b;b=temp;} //交换2个数 int Gauss() { int k,col = 0; //当前处理的列 for(k = 0;k < equ && col < var;++k,++col) { int max_r = k; for(int i = k+1;i < equ; ++i) if(a[i][col] > a[max_r][col]) max_r = i; if(max_r != k) { for(int i = k;i < var + 1; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]); } if(a[k][col] == 0) { k--; continue; } for(int i = k+1;i < equ; ++i) { if(a[i][col] != 0) { int LCM = lcm(a[i][col],a[k][col]); int ta = LCM/a[i][col], tb = LCM/a[k][col]; if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb; for(int j = col;j < var + 1; ++j) a[i][j] = ( (a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2 + 2 ) % 2; //a[i][j]只有0和1两种状态 } } } //上述代码是消元的过程，行消元完成 //解下来2行，判断是否无解 //注意K的值，k代表系数矩阵值都为0的那些行的第1行 for(int i = k;i < equ; ++i) if(a[i][col] != 0) return -1; // 无解返回 -1 //Debug(); //唯一解或者无穷解,k<=var //var-k==0 唯一解；var-k>0 无穷多解，自由解的个数=var-k //能执行到这，说明肯定有解了，无非是1个和无穷解的问题。 //下面这几行很重要，保证秩内每行主元非0，且按对角线顺序排列，就是检查列 for(int i = 0; i 每一行主元素化为非零 if(!a[i][i]) { int j; for(j = i+1;j if(a[i][j]) break; if(j == var) break; for(int k = 0;k < equ; ++k) swap(a[k][i],a[k][j]); } // ----处理保证对角线主元非0且顺序，检查列完成 // free_num=k; if (var-k>0) { //无穷多解，先枚举解，然后用下面的回带代码进行回带； //这里省略了下面的回带的代码；不管唯一解和无穷解都可以回带，只不过无穷解//回带时，默认为最后几个自由变元=0而已。 } if (var-k==0)//唯一解时 { //下面是回带求解代码，当无穷多解时，最后几行为0的解默认为0； for(int i = k-1;i >= 0; --i) //从消完元矩阵的主对角线非0的最后1行，开始往//回带 { int tmp = a[i][var] % 2; for(int j = i+1;j < var; ++j) //x[i]取决于x[i+1]--x[var]啊，所以后面的解对前面的解有影响。 if(a[i][j] != 0) tmp = ( tmp - (a[i][j]*x[j])%2 + 2 ) % 2; //if (a[i][i]==0) x[i]=tmp; //最后的空行时，即无穷解得 //else x[i] = (tmp/a[i][i]) % 2; //上面的正常解 } //回带结束了 } }
--------------------------对上面模板的说明---------------------------------------------------------------
因为我们要解决的问题，基本上都是解都是出于0-1这2个数，所以要对2取余；
如果想对普通的正数解方程，那自己把对2取余删掉就行了；
下面要仔细看：
以前讲述的列方程的方法需要考虑连动的情况，主要是列方程的思路，而很多牛人也都是按照，按的这个格，和这个格都翻转的格子，一起构成1个方程；如下面的poj1222的我AC 的代码；后来发现有2道题要考虑“连动”，而zoj 的3353更是必须要数据a[i][j]调换输入才行，而3353题中没有“连动”意思；最后和struggle_mind讨论，发现下面这个建立方程的办法更有说服力，而且经过验证，所有题目都能A ，而且不用再考虑“连动”啥的了，是有理论作为支撑的。
对方程的建立方法的说明： 还是常规方法，按1个格，则它的自己本身和上、下、左和右格子都会发生翻转。黑变白，白能变黑。
| 1 |
2 |
3 |
4 |
| 5 |
6 |
7 |
8 |
| 9 |
10 |
11 |
12 |
| 13 |
14 |
15 |
16 |
分析办法： bi为初始状态；每次按一个格，发生翻转的记为1，按列排列；而每行表示：该行号的格子在整个一系列过程中被按下的值。 记住：每次按格子，把发生翻转的格子按列来标记为1；
|
|
按第1个格 |
按第2个格 |
按第3个格 |
按第4个格 |
bi |
| 第1个格 |
1 |
1 |
0 |
0 |
b1 |
| 第2个格 |
1 |
1 |
1 |
0 |
b2 |
| 第3个格 |
0 |
1 |
1 |
1 |
b3 |
| 第4个格 |
0 |
0 |
1 |
1 |
b4 |
| 第5个格 |
1 |
0 |
0 |
0 |
b5 |
| 第6个格 |
0 |
1 |
0 |
0 |
b6 |
| 第7个格 |
0 |
0 |
1 |
0 |
b7 |
| 第8个格 |
0 |
0 |
0 |
1 |
b8 |
以上只给出了按前4个格的矩阵的记录。
一句话：就是从前的方法中，把a[i][j],录入时把i 和j的位置调换一下就行；所有题目还可以AC 的。
下面这几道题要各个搞定才行：
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。
POJ 2947 Widget Factory poj 2065
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。
注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。
分下类： 1222 有唯一解 太简单
1753 3185 2965 高斯+枚举，我要详细讲（黑板上）
2947 2065 同余方程
先说1222这题：这题的代码是老方法的，新方法把a[i][j]录入时调换位置；
题目大意：给你一个5*6的矩阵，矩阵里每一个单元都有一个灯和一个开关，如果按下此开关，那么开关所在位置的那个灯和开关前后左右的灯的状态都会改变(即由亮到不亮或由不亮到亮)。给你一个初始的灯的状态，问怎样控制每一个开关使得所有的灯最后全部熄灭（此题保证有唯一解）。
解题思路：高斯消元。很显然每个灯最多只需要按1下（因为按两下和没有按是一个效果）。我们可以定义30和未知数x0、x1.......x29代表每一个位置的开关是否被按。那么对于每一个灯的状态可以列一个方程，假设位置(i,j)处的开关为x(i*6+j),那么我们就可以列出方程:
x(i*6+j)+x((i-1)*6+j)+x((i+1)*6+j)+x(i*6+j-1)+x(i*6+j+1) = bo(mod 2)
(括号里的数字为x的下标，这里假设这些下标都是符合要求的，即都在矩形内，如果不在则可以去掉，当这个灯初始时是开着的，那么bo为1，否则为0)
这样可以列出30个方程，然后用高斯消元解这个方程组即可。
我的补充：题目给定后，我立刻知道了该题，呵呵，有唯一解；
怎么判断出的呢？ 5行6列，已经固定了；每个灯的方程也固定了（系数矩阵）；只有开始时灯的状态会变，开始时灯的状态只能决定增广矩阵的最后1列；因为系数矩阵式固定的，而系数矩阵能决定该方程是否有唯一解和多个解；编好代码后，自己 deBUG一下，也就是把a这个矩阵输出一下，自己look一下，发现没有都是0的行，秩=5；
所以模板里只要算一下 (var-k==0)是，回带就行了；
#include #include #include #include using namespace std; const int maxn = 30; int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var. int a[maxn][maxn+1]; int x[maxn]; // 解集. bool free_x[maxn+1]; // 判断是否是不确定的变元. int free_num; int abs1(int num) { if (num>=0) return num; else return -1*num; } void Debug(void) { int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl; } inline int gcd(int a, int b) { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); } void swap(int &a,int &b){int temp=a;a=b;b=temp;} int Gauss_new() { int k,col = 0; //当前处理的列 for(k = 0;k < equ && col < var;++k,++col) { int max_r = k; for(int i = k+1;i < equ; ++i) if(a[i][col] > a[max_r][col]) max_r = i; if(max_r != k) { for(int i = k;i < var + 1; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]); } if(a[k][col] == 0) { k--; continue; } for(int i = k+1;i < equ; ++i) { if(a[i][col] != 0) { int LCM = lcm(a[i][col],a[k][col]); int ta = LCM/a[i][col], tb = LCM/a[k][col]; if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb; for(int j = col;j < var + 1; ++j) a[i][j] = ( (a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2 + 2 ) % 2; //a[i][j]只有0和1两种状态 } } } for(int i = k;i < equ; ++i) if(a[i][col] != 0) return -1; // 无解返回 -1 //唯一解或者无穷解,k<=var，这里直接回带了，知道有唯一解啊 for(int i = k-1;i >= 0; --i) { int tmp = a[i][var] % 2; for(int j = i+1;j < var; ++j) if(a[i][j] != 0) tmp = ( tmp - (a[i][j]*x[j])%2 + 2 ) % 2; x[i] = (tmp/a[i][i]) % 2; } return 0; } int main(void) { // freopen("Input.txt", "r", stdin); int i, j,t,t1; cin>>t; t1=t; equ=30; var=30; while (t--) { memset(a, 0, sizeof(a)); memset(x, 0, sizeof(x)); //memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. //下面要根据位置计算a[i][j]; for (i = 0; i < 5; i++) { for (j = 0; j < 6; j++) { //下面要把a[i][j]的位置调换一下更科学，我代码没调换啊 ，也能A if (i-1>=0) a[i*6+j][(i-1)*6+j]=1; //计算上面的位置，应为a[(i-1)*6+j][i*6+j]=1; if (i+1<=4) a[i*6+j][(i+1)*6+j]=1;//计算下面的位置 if (j-1>=0) a[i*6+j][i*6+j-1]=1;//计算左面的位置 if (j+1<=5) a[i*6+j][i*6+j+1]=1; //计算右面的位置 a[i*6+j][i*6+j]=1;//别忘了计算自己 cin>>a[i*6+j][30]; //scanf("%d", &a[i][j]); } } // Debug //free_num = Gauss(); free_num=Gauss_new(); if (free_num == -1) printf("无解!\n"); else if (free_num >= 0) { int na_num=0; printf("PUZZLE #%d\n",t1-t); for (i = 0; i < var; i++) { na_num++; if (na_num%6==0) {printf("%d\n",x[i]);} else printf("%d ",x[i]); } } // printf("\n"); } return 0; }
------------------------------------1222-----------over--------------------------------------------------------------------
重点说下1753这题：本题用guass还是比较牛的，速度很快啊
题意：
有4*4的正方形，每个格子要么是黑色，要么是白色，当把一个格子的颜色改变(黑->白或者白->黑)时，其周围上下左右(如果存在的话)的格子的颜色也被反转，问至少反转几个格子可以使4*4的正方形变为纯白或者纯黑？
本题求都变白或变黑的最小格子数。
分析：求都变白的最小格子数；再求变黑的最小格子数，输出2者最小值即可；
这里说下本类问题的bi的赋值，bi就是曾广矩阵的最后1列；
其实就是开始的矩阵（0-1），和最终矩阵的（0-1）做异或；相同的格子为0，不同的格子值为1；这类问题都一样的；
本体4*4的矩阵固定，方法固定，只是初始状态不固定，还是先把代码先敲进去，用样例输入，用 debug()把消元后的a的结果输出到屏幕上看看，看看有几个解是未知的，共16个方程：
1100100000000000
0111001000000000
0010110000000000
0001110100000000
0000110101000000
0000011110000000
0000001101010000
0000000111100000
0000000010111000
0000000001111010
0000000000110100
0000000000010011
0000000000000000
0000000000000000
0000000000000000
0000000000000000
最后4行都是0，则最后4个解变量是无穷解；
X15 x14 x13 x12 只能取0或1，枚举 2^4共16中情况，枚举1次，回带1次，算出1组解，记录解变量和最小的。
0 000 0001 0010 0011 ----------1111 共16个，说得太详细了，枚举可以循环
For (i=1----16)
{
0 0 0 0 // 每次根据i值，产生0 0 0 0 还是 00 10 ，就是x15 x14 x13 x12的值
回带
得到解
和是否最小
}
这是16种情况，要是更多，还是用dfs()吧，也简单的要命！
--------------------------------下位直接枚举的代码---超短--------------------------------
• for(i=0,min=17;i<16;++i){ //枚举有解的16种情况
• for(j=15;j>11;--j)r[j]=(1<<(j-12))&i?1:0; //最后4变量是自由变量
仔细体会上面这2句，如何产生 0 0 0 0 ----1111 的
----------------------------------高消+枚举-------poj1753-----------------------------------------------------------
#include <iostream> #include <cstring> #include <stdio.h> using namespace std; const int maxn=16; int a[maxn][maxn+1],x[maxn],b[maxn][maxn+1]; int equ,var; bool free_x[maxn+1]; // 判断是否是不确定的变元. int free_num,ans=100000000; int abs1(int num) { if (num>=0) return num; else return -1*num; } void Debug(void) { int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl; } inline int gcd(int a, int b) { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); } int dfs(int p) //枚举自由解，只能取0-1，枚举完就回带，找到最小的 { if (p<=free_num-1) //深入到了主对角线元素非0的行了 { //下面就是回带的代码啊 for(int i = free_num-1; i >= 0; --i) { int tmp = a[i][var] % 2; for(int j = i+1; j < var; ++j) //x[i]取决于x[i+1]--x[var]啊，所以后面的解对前面的解有影响。 if(a[i][j] != 0) tmp = ( tmp - (a[i][j]*x[j])%2 + 2 ) % 2; x[i] = (tmp/a[i][i]) % 2; //上面的正常解 } //回带完成了 //计算解元素为1的个数； int sum=0; for(int i=0; i<var; i++) sum+=x[i]; if (ans>sum) ans=sum; return 0; } x[p]=0; dfs(p-1); x[p]=1; dfs(p-1); } void swap(int &a,int &b) { int temp=a; a=b; b=temp; } int Gauss_1() { int k,col = 0; //当前处理的列 for(k = 0; k < equ && col < var; ++k,++col) { int max_r = k; for(int i = k+1; i < equ; ++i) if(a[i][col] > a[max_r][col]) max_r = i; if(max_r != k) { for(int i = k; i < var + 1; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]); } if(a[k][col] == 0) { k--; continue; } for(int i = k+1; i < equ; ++i) { if(a[i][col] != 0) { int LCM = lcm(a[i][col],a[k][col]); int ta = LCM/a[i][col], tb = LCM/a[k][col]; if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb; for(int j = col; j < var + 1; ++j) a[i][j] = ( (a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2 + 2 ) % 2; //a[i][j]只有0和1两种状态 } } } for(int i = k; i < equ; ++i) if(a[i][col] != 0) return -1; // 无解返回 -1 //上述代码是消元的过程，消元完成 //Debug(); //唯一解或者无穷解,k<=var //var-k==0 唯一解；var-k>0 无穷多解，自由解的个数=var-k //下面这几行很重要，保证秩内每行主元非0，且按对角线顺序排列 for(int i = 0; i <equ; ++i)//每一行主元素化为非零 if(!a[i][i]) { int j; for(j = i+1; j<var; ++j) if(a[i][j]) break; if(j == var) break; for(int k = 0; k < equ; ++k) swap(a[k][i],a[k][j]); } // ----处理保证对角线主元非0且顺序，完成 free_num=k; if (var-k>0) { dfs(var-1); return ans; } if (var-k==0)//唯一解时，poj1753本题没唯一解，当题目具体操作给出后，系数矩阵已经固定了！ { //下面是回带求解，当无穷多解时，最后几行为0 for(int i = k-1; i >= 0; --i) { int tmp = a[i][var] % 2; for(int j = i+1; j < var; ++j) //x[i]取决于x[i+1]--x[var]啊，所以后面的解对前面的解有影响。 if(a[i][j] != 0) tmp = ( tmp - (a[i][j]*x[j])%2 + 2 ) % 2; //if (a[i][i]==0) x[i]=tmp; //最后的空行时，即无穷解得 //else x[i] = (tmp/a[i][i]) % 2; //上面的正常解 } int sum=0; for(int i=0; i<var; i++) sum+=x[i]; return sum; } } int main() { int k,free_num; char c1[20]; memset(a,0,sizeof(a)); memset(x,0,sizeof(x)); ans=1000000000; for (int i=0; i<4; i++) { cin>>c1; //构造系数矩阵A for (int j=0; j<4; j++) { k = 4*i+j; a[k][k]=1; if (i>0) a[k][k-4]=1; //上 if (i<3) a[k][k+4]=1; //下 if (j>0) a[k][k-1]=1; //左 if (j<3) a[k][k+1]=1; //右 if (c1[j]=='b') a[k][maxn] = 1; } } for(int i=0; i<16; i++) for(int j=0; j<=16; j++) b[i][j]=a[i][j]; for(int k=0; k<16; k++) b[k][16]^=1; equ=var=16; int j1=Gauss_1(); int min1=ans; for(int i=0; i<16; i++) for(int j=0; j<=16; j++) a[i][j]=b[i][j]; ans=100000000; int j2=Gauss_1(); int min2=ans; if (j1==-1&&j2==-1) cout<<"Impossible"<<endl; else cout<<min(ans,min1)<<endl; // cout << "Hello world!" << endl; return 0; }