利用欧拉角旋转正交_三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换...

0 引言

来鹅厂实习了一段时间，因为没有什么特别紧急的需求(hahahahaha)，所以主要花在了学习和捣鼓一些小工具上。有一个小需求是要实现鼠标拖动球体的转动，然后发现我不再能只用欧拉角来糊弄过去了。然后又发现，网上大部分资料的采用的欧拉角顺规都是xyz，然后我基于D3D11的辣鸡框架用了zxy，公式不太能直接套用，于是摸了两三天鱼，整理了一下几种三维旋转表示（欧拉角，四元数，旋转矩阵，轴角）与他们之间的相互转换的资料，并且加入了自己的一些推导，给出这些转换公式的推导思路和细节，这样子如果各位想使用其他欧拉角顺规和定义的时候，自己动手算一算就好了。

至于这几种三维旋转的表示形式随手百度Google都可以看到很多科普文的，这里着重说一下他们之间的转换的细节吧（不少公式和推导，预警一波，如果有错误请指出~）

图：下文介绍的几种转换路径

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1 欧拉角(Euler Angle)与旋转矩阵(Rotation Matrix)

1.1 欧拉角 ----> 旋转矩阵

D3D和OpenGL不同，用的坐标系是Y轴竖直向上的左手系，所以欧拉角的顺规是跟广大blog、OpenGL不一样的，那么博客上、甚至维基百科[2]上的各种基于右手系xyz顺规(分别对应roll, pitch,yaw)的看起来就不太能随随便便直接用了。

首先欧拉角旋转序列(Euler Angle Rotational Sequence)一共有12种顺规，6种绕三条轴的旋转(也叫Tait-Bryan Angle，XYZ,XZY,YXZ,YZX,ZXY,ZYX)，另外6种只绕两条轴的旋转(也叫Proper Euler Angle，XYX,YXY,XZX,ZXZ,YZY,ZYZ)。如果相邻两次旋转是绕同一条轴，例如XXY，那么其实可以坍缩成XY。那么只绕一条轴旋转就根本不够自由度就不需要说了。也就是说，一共有12种基础旋转的组合顺序，它们可以旋转出三维的所有旋转状态。所以一共是12种旋转顺规（可以表示所有旋转的集合），DirectXMath库采用的是ZXY顺规，分别对应着Z-Roll，X-Pitch，Y-Yaw。

图：欧拉旋转与Yaw-Pitch-Roll的直观意义（网图魔改）

注意：那么下文我们都采用ZXY顺规来推导公式！采用列主向量(column major)！(但是注意DirectXMath API生成的矩阵其实是行主向量(row major)的)

参考一下维基百科的

[3]Euler Angle

Euler angles - Wikipedia​en.wikipedia.org

[4]Rotation Matrix

Rotation matrix - Wikipedia​en.wikipedia.org

可以知道，欧拉角构造旋转矩阵就直接把三个Elemental Rotation Matrix乘在一起就好了（LaTeX扣得真累orz）：

其中：

上面的欧拉角--->矩阵的结果与维基百科Euler Angles[3]

给出的结果一致，那应该稳了：

图：其实可以不用自己推的，维基百科把12种顺规乘出来的矩阵都写出来了

.

1.2 旋转矩阵----> 欧拉角

参考一篇NASA的关于姿态描述的技术报告[1]的Appendix-A6和[5]，我们可以用旋转矩阵元素的相乘、相除、反三角函数等操作去“凑”出欧拉角。[5]给出了从XYZ顺规提取欧拉角的方法、步骤、思路，[1]则给出了全部12种顺规的欧拉角提取公式，但是没有给一些细节注意事项。所以总结一下，根据[1]、[5]、[7]《Real Time Rendering 3rd Edition》4.2.2和自己的推导，从ZXY顺规旋转矩阵提取欧拉角的公式是（[1]原文下标似乎有点小问题）：

• Y axis yaw angle:

• X axis pitch angle:

• Z axis roll angle:

.

注意到一点，注意到矩阵的每一个元素都是pitch angle

的函数…所以当

即

的时候，这时候其他的欧拉角提取表达式就凉凉了（分子分母都是0, arctan和atan2都没有意义了）….其实pitch angle

恰好就是Gimbal Lock的位置。在Gimbal Lock的时候，旋转矩阵会退化为：

.

那么要进一步处理万向节死锁的corner case就需要分两种情况：

• ，此时

其中要给

或者

其中一个欧拉角赋值，另外一个就按等式计算出来。

.

• ，此时

同样的，要给

或者

其中一个欧拉角赋值，另外一个就按等式计算出来。

.

从旋转矩阵提取欧拉角的公式跟欧拉角顺规的选取有关，因为旋转矩阵的元素会略有不同，但是思路都是一样的，就是根据旋转矩阵的解析表达式+反三角函数凑出来23333。

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2 四元数(Quaternion)与旋转矩阵

2.1 四元数---->旋转矩阵

众所周知的是，欧拉旋转是有万向节死锁(Gimbal Lock)的问题的。幸好我们有四元数(Quaternion)这种数学工具可以避免这个情况。一般来说，我们都会用单位四元数

来表示旋转，其中

。那么给定一个单位四元数，可以构造旋转矩阵(column major)[1][4][8][14][15]：

这个四元数构造的大概思路就是把四元数的旋转操作写成矩阵形式（注：给定一个用于旋转的单位四元数

和被旋转的三维向量

，那么要直接用四元数旋转这个向量，则我们首先要构造一个纯四元数

，设旋转后的向量为

，旋转后的向量构造的纯四元数为

，那么

）。因为是用四元数来构造矩阵的，所以这个矩阵构造公式就没有欧拉角顺规的说法了。

.

2.2 旋转矩阵---->四元数

那第一步肯定是判断3x3矩阵是一个正交矩阵啦（满足

）。那么如果这个矩阵已经是一个合法的旋转矩阵了，要从旋转矩阵里提取四元数，也是可以像提取欧拉角那样，

用参数化过的矩阵的表达式凑出来。参考[8]《Real Time Rendering 3rd edition》Chapter4的思路，我们观察一下用四元数分量进行参数化的矩阵

，然后经过一顿操作，我们发现：

于是我们再凑出个实分量

，就可以把四元数四个分量都用矩阵元素表示出来了。于是我们又机智地发现了一个等式：

其中

是矩阵

的迹(trace)，也就是矩阵对角元素的和。因为这里用的是3x3矩阵，跟其他资料里面的表示有一点不同。所以我们可以把四元数的四个分量都用矩阵元素凑出来了：

有一点《Real Time Rendering》提到的，

绝对值比较小的时候，可能会出现数值不稳定的情况，那么想要数值稳定的话就得用一种不用除法的方式来凑，在这不展开了，可以看一下RTR 2333。

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3 欧拉角与四元数

3.1 欧拉角---->四元数

首先提一下四元数的乘积：

参考维基百科[2]的思路，欧拉角构造四元数，跟欧拉角构造旋转矩阵一样，就是把三个基础旋转Elemental Rotation组合在一起。

Conversion between quaternions and Euler angles​en.wikipedia.org

那么用于旋转的四元数

的表达式是：

这个我自己推导的结果跟[1]NASA Technical Report的Appendix A给出的结果对比过了

https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770019231.pdf​ntrs.nasa.gov

（[1]中四元数记号是

），看起来没什么问题。

.

3.2 四元数---->欧拉角

本来我以为，从四元数提取欧拉角的思路可以跟旋转矩阵提取欧拉角类似，也是用四元数的元素运算和反三角函数凑出公式来。后来我发现这简直就是一个极其硬核的任务，展开之后每一项都是六次多项式，画面有一丢暴力且少儿不宜，直接强行凑的话画风大概是这样：

这个结果跟欧拉角参数化的旋转矩阵的

的表达式是吻合的。但这还只是最好凑的那一个，惹不起惹不起。所以舒服的思路还是

四元数-->旋转矩阵-->欧拉角，想一步到位的话，把四元数分量参数化的旋转矩阵、欧拉角参数化的旋转矩阵结合在一起，参考下旋转矩阵转欧拉角的方法，替换下元素就完事了。这里就不把公式展开了，因为四元数直接转欧拉角 跟 旋转矩阵转欧拉角一样，依旧是要处理gimbal lock的corner case，还是那么麻烦，所以这里先鸽了23333

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4 轴-角(Axis-Angle)

4.1 轴角---->四元数

轴-角(Axis-Angle)顾名思义就是绕某条单位轴旋转一定角度，从这个意义上看，它构造四元数是非常舒服的，毕竟直观的几何意义有一点点类似，绕单位轴

旋转

的四元数是：

.

4.2 轴角---->旋转矩阵

Axis Angle转Rotation Matrix可以从[9]罗德里格斯旋转公式Rodrigues Rotation Formula开始推导。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula​en.wikipedia.org

Rodrigues' rotation formula

Rodrigues' rotation formula​en.wikipedia.org

设

是我们要旋转的单位向量，旋转轴为

，

绕

旋转角度

，那么旋转后的向量为：

这个公式的推导思路是这样子的，我们先对向量

进行正交分解，分解成投影到旋转轴

的分量和垂直于

的分量：

其中：

图：魔性p图，假设k和v都在屏幕这个平面上吧

于是绕

旋转向量

其实就是把上面

正交投影后的向量分别旋转之后再加起来。那么很明显的，投影到旋转轴上的部分

都跟旋转轴共享了，那么自然旋转之后的结果就没有变化了，于是我们只需要旋转和旋转轴垂直的部分

。那么这个

旋转后的表达式就是：

然后我们不按wikipedia里面坑爹的、不考虑下文的变形，自己推一波：

这里我们把旋转后向量的表达式变形得只剩下叉积(cross product)，去掉点积(dot product)了，这样子我们才可以把这个绕轴旋转的表达式写成矩阵形式。怎么写呢？首先叉积可以写成矩阵形式：

Cross product - Wikipedia​en.wikipedia.org

于是罗德里格斯旋转公式的变换就可以写成矩阵形式：

展开之后就是：

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罢工罢工！！LaTeX敲到我头皮发麻了！！

(不那么标准的)引用

[1]Henderson, D.M.. Euler angles, quaternions, and transformation matrices for space shuttle analysis[C]//NASA, Jun 09, 1977.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles#Euler_Angles_to_Quaternion_Conversion

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

[5] Slabaugh G G. Computing Euler angles from a rotation matrix[J]. 1999.

[6] Mike Day, Converting a Rotation Matrix to a Quaternion. https://d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2015/01/matrix-to-quat.pdf

[7] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p68-p69, 2008.

[8] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p76-p77, 2008.

[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula

[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Conversion_to_matrix_multiplication

[11] http://mathworld.wolfram.com/RodriguesRotationFormula.html

[12] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8

[13] https://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903

[14] Quaternion and Rotations, http://run.usc.edu/cs520-s12/quaternions/quaternions-cs520.pdf

[15] https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation