1.巴特沃斯模拟滤波器（低通，高通，带通，带阻）设计-MATLAB实现

本文是模拟滤波器设计，如果需要了解数字滤波器的内容，可以按顺序看我写的另外两篇博客，如下：

2.MATLAB实现无限脉冲响应数字滤波器（IIR）

3.MATLAB实现有限脉冲响应数字滤波器（FIR）

1. 基础知识介绍

我们首先明确一个知识（这个非常重要）：

某正弦信号，频率为50Hz
这意味着 信号的模拟频率 $f$= 50 (Hz)，注意它的单位是Hz

信号的表达式为
$$y=sin(2\pi ft)=sin(2\pi \ast 50t)=sin(100\pi t)$$

由于信号也可以表示为$y=sin(\Omega t)$的形式，所以这里
$$\Omega =2\pi f=100\pi$$

这里的 $\Omega$ 是模拟角频率，它的单位是rad/s。

注意模拟角频率 $\Omega$ 和模拟频率$f$的关系$$\Omega =2\pi f$$

2. 函数介绍

首先介绍一些用到的MATLAB函数

2.1 buttord - 求解滤波器的阶数N和3dB截止频率wc

[N，wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, ‘s’)  

输入参数如下：

通带边界模拟频率wp、阻带边界模拟频率ws（模拟角频率，单位是rad/s）

通带最大衰减Rp、阻带最小衰减As（单位是dB）

‘s’指的就是模拟滤波器，设计数字滤波器时就没有’s’这个参数了。

2.2 butter - 求解N阶滤波器的具体参数B和A，求解完B和A后滤波器就设计完成了。

[B,A] = butter(N, wc, ‘ftype’, ‘s’)  - 模拟滤波器设计

输入参数如下：

N - 滤波器阶数

wc - 3dB截止模拟频率（单位rad/s，N和wc都是用buttord函数计算出来的）

ftype - 滤波器类型‘’：
（1）当输入wc为一维向量时：
默认情况下设计的低通滤波器，设计高通滤波器的话令ftype=high

（2）当输入wc为二维向量[wcl,wcu]时：
默认情况下设计的带通滤波器，设计带阻滤波器的话令ftype=stop

2.3 filter - 滤波函数

y = filter(B,A,x)

这个就是滤波函数了，

x是输入的有噪声的信号，

B，A就是设计好的滤波器参数

得到的输出y就是滤波后的信号了。

3. 代码实现：

（1）低通滤波器：

例： 设计通带截止频率5kHz，通带衰减2dB，阻带截止频率12kHz，阻带衰减30dB的巴特沃斯低通滤波器

由题可知，设计的是模拟滤波器，所以用到下面三个函数：

[N，wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, ‘s’)
[B,A] = butter(N, wc, ‘ftype’, ‘s’)
y = filter(B,A,x)

划重点 ! ! !：

模拟滤波器的频率都是模拟角频率 $\Omega$ ，它和频率 $f$ 的关系
$$\Omega =2\pi f$$

所以这里

wp = $2\ast pi\ast 5000$，ws = $2\ast pi\ast 12000$，Rp = 2, As = 30

代码如下：

wp = 2 * pi * 5000;
ws = 2 * pi * 12000;
Rp = 2;
As = 30;

[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, 's');
[B, A] = butter(N, wc, 's');

上面这些代码就设计好了滤波器

如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

下面是绘图部分

为了让滤波器的结果得到更形象的表示，我们可以画出来它的幅频特性曲线，代码如下：
其中，我们使用了freqs这个函数，

h = freqs(B,A,wk)

它是用来计算当频率为wk时，对应的频率响应h的大小，主要是用来画图的。

绘图代码如下：

f = 0 : 10 : 14000;%取点，从0-14000，每隔10取一个点
w = 2 * pi * f;%注意模拟滤波器用的频率都是模拟角频率，要乘上2pi的
 
Hk = freqs(B,A,w);%对于取的每个点，求该处的频率响应大小
 
%画图
figure
plot(f/1000, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是kHz,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('f/kHz');
ylabel('-A(f)/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 14, -40, 5]);

绘图结果如下：

（2）高通滤波器：

高通滤波器与低通几乎完全一样，只要注意
[B,A] = butter(N, wc, ‘ftype’, ‘s’)中的 ftype=high

例： 设计通带截止频率4kHz，通带衰减0.1dB，阻带截止频率1kHz，阻带衰减40dB的巴特沃斯高通滤波器

代码如下：

wp = 2 * pi * 4000;
ws = 2 * pi * 1000;
Rp = 0.1;
As = 40;
 
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, 's');
[B, A] = butter(N, wc,'high', 's');%注意这个'high'

高通滤波器设计完成了

如果有输入噪声信号x的话，调用 y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出高通滤波器的幅频特性曲线

f = 0 : 10 : 14000;%取点，从0-14000，每隔10取一个点
w = 2 * pi * f;%注意模拟滤波器用的频率都是模拟角频率，要乘上2pi的
 
Hk = freqs(B,A,w);%对于取的每个点，求该处的频率响应大小
 
%画图
figure
plot(f/1000, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是kHz,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('f/kHz');
ylabel('-A(f)/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 14, -60, 5]);

曲线图如下：

（3）带通滤波器：

例： 设计巴特沃斯带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，通带衰减1dB，阻带上下边界频率2kHz和9kHz，阻带衰减20dB。

滤波器设计代码如下：

%带通
wp = 2 * pi * [4000, 7000];
ws = 2 * pi * [2000,9000];
Rp = 1;
As = 20;
 
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, 's');%此时输入wp和ws都是二维的，输出wc也是两维的
[B, A] = butter(N, wc,'s');

带通模拟滤波器设计完成了

如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出带通滤波器的幅频特性曲线，如下：

f = 0 : 10 : 14000;%取点，从0-14000，每隔10取一个点
w = 2 * pi * f;%注意模拟滤波器用的频率都是模拟角频率，要乘上2pi的
 
Hk = freqs(B,A,w);%对于取的每个点，求该处的频率响应大小
 
%画图
figure
plot(f/1000, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是kHz,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('f/kHz');
ylabel('-A(f)/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 14, -60, 5]);

曲线图如下：

（4）带阻滤波器：

例： 设计巴特沃斯带阻滤波器，通带上下边界频率分别为2kHz和9kHz，通带衰减1dB，阻带上下边界频率4kHz和7kHz，阻带衰减20dB。

%带阻
wp = 2 * pi * [2000, 9000];
ws = 2 * pi * [4000,7000];
Rp = 1;
As = 20;
 
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As, 's');%此时输入wp和ws都是二维的，输出wc也是两维的
[B, A] = butter(N, wc,'stop','s');

带阻模拟滤波器设计完成了，如果有输入噪声信号x的话，调用
y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出带阻滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

f = 0 : 10 : 14000;%取点，从0-14000，每隔10取一个点
w = 2 * pi * f;%注意模拟滤波器用的频率都是模拟角频率，要乘上2pi的
 
Hk = freqs(B,A,w);%对于取的每个点，求该处的频率响应得下
 
 
%画图
figure
plot(f/1000, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是kHz,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('f/kHz');
ylabel('-A(f)/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 14, -100, 5]);

结果如下：