Dynamic Programming之Longest Increasing Subsequence (LIS)问题

        Longest Increasing Subsequence（LIS）问题是一类常见的可使用Dynamic Programming解决的算法问题。这个问题是指在一个数字序列中，找到最大个数升序排列的子序列。比如有一个数字序列:

S  =  { 8 ,   4 ,   1 ,   7 ,   6 ,   2 ,   0 ,   5 ,   3 }

它的LIS就是（1，2，3）和（1，2，5）。除了这个定义以外，还有一种定义叫Longest Increasing Run（不知道怎么翻译），它是指找到相邻的最大个数升序排列的子序列。比如上面的序列中的（1，7）和（0，5）。

        显然找到一个Longest Increasing Run是非常容易的，而找到一个LIS却不怎么简单。

        为了应用Dynamic Programming，我们这里需要建立一个递归来计算最长序列的长度。这里有两种不同时间复杂度的算法：
       

for  i  =   1   to  total - 1
   for  j  =  i + 1   to  total
     if  height[j]  >  height[i]  then
       if  length[i]  +   1   >  length[j]  then
        length[j]  =  length[i]  +   1
        predecessor[j]  =  i

        这个算法的时间复杂度为O（n ²）。举个例子来演示这个算法，取一个序列如下:

height  =  { 9 ,   5 ,   2 ,   8 ,   7 ,   3 ,   1 ,   6 ,   4 }
length  =  { 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 }
predecessor  =  {nil ,  nil ,  nil ,  nil ,  nil ,  nil ,  nil ,  nil ,  nil}

然后使用这个算法，可以得到如下的结果:

height  =  { 9 ,   5 ,   2 ,   8 ,   7 ,   3 ,   1 ,   6 ,   4 }
length  =  { 1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   2 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 }
predecessor  =  {nil ,  nil ,  nil ,   2 ,   2 ,   3 ,  nil ,   6 ,   6 }

        另外还有一种O( n log k)的算法，其中k是实际LIS的长度。算法使用一个升序排列的序列A来存储整个LIS。A的初试状态为1个负无穷大和n－1个正无穷大组成的数组。我们要做的就是对整个序列来一次遍历，然后把每个数放到A中去看它是否是属于这个LIS，如果是就把它插入其中。这里所谓是否属于就是指从A的第一个非无穷大的数往前看，如果找到这个一个位置，即前面的数小于这个待插入的数，且后一个数大于那个数。插入的方法就是把后面的那个数替代掉即可。这种查找使用的是Binary Search，它时间复杂度为O(log k)。所以最终整个算法的时间复杂度为O(n log k)。下面给出一个例子：

    0    1    2    3    4    5    6    7    8
a    - 7 , 10 ,   9 ,   2 ,   3 ,   8 ,   8 ,   1

A -i  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i
A -i - 7 ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ( 1 )
A -i - 7 , 10 ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ( 2 )
A -i - 7 ,   9 ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ( 3 )
A -i - 7 ,   2 ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ( 4 )
A -i - 7 ,   2 ,   3 ,  i ,  i ,  i ,  i ,  i ( 5 )
A -i - 7 ,   2 ,   3 ,   8 ,  i ,  i ,  i ,  i ( 6 )
A -i - 7 ,   2 ,   3 ,   8 ,  i ,  i ,  i ,  i ( 7 )
A -i - 7 ,   1 ,   3 ,   8 ,  i ,  i ,  i ,  i ( 8 )

参考资料： http://www.comp.nus.edu.sg/~stevenha/programming/prog_dynamicprogramming.html
                    http://www2.toki.or.id/book/AlgDesignManual/BOOK/BOOK2/NODE47.HTM