作为科学数观念的重要组成部分——十进制和位置制观念，在千以内数的学习过程中儿童理解到10个一等于1个十，10个十等于1个百，10个百等于1个千，千以内数的归组数守恒观念正式建立。我们现在要学习的万以内数的认识，需要儿童将自己的十进制和位值制观念进一步扩大，这又是一个新的认知循环的开始。
浪漫阶段：万以内数字的拆分
有了前面的拆分经验，将4000拆分成两个千位数，小贝壳们做得很顺利，还会用加减法算式表示自己的拆分过程。如果你要问2000+2000的结果是多少？小贝壳们都会一口回答——4000。但为什么是4000呢？小贝壳们竟都哑口无言。是啊？为什么呢？孩子们隐约感觉到1个1个数的方法已经不可取了，这可是2000和2000呀！一个一个数那要数到什么时候。但是结果4000又该如何解释呢？
看来是时候唤醒他们脑海中关于数位“千”的已有观念了。请问2个千加上2个千等于多少？孩子们一下子明白了，可以把2000看成2个千，用数位千来解释，算理就清楚多了。
有一个不安分的小家伙，她竟然想挑战非整千数的拆分。
将4000拆分成1005和2095到底对不对呢？这下可把小贝壳们都难住了，我们用加法验证一下吧！1005＋2095的计算过程在计数器上一操作，不对啊！个位上满十进一，十位上再满十进一，结果是3100，少了900。4000应该拆分成数字1005和2995啊！
如果要将4000拆分成一个千位数和十位数，小贝壳们好像又遇到麻烦了！
这次我们除了学会用计数器检验拆分的正确与否，还学会了用从位值制的角度尝试描述加减法的计算过程。3090+10的计算过程就是：9个“十”＋1个“十”=10个“十”=1个“百”；3个“千”+1个“百”=3100，看来又少了9个“百”。
到了将4000拆分成一个千位数和一个个位数的讨论时，小贝壳们已经能用位值制语言自己进行描述，来验证自己的猜测了。当然这个过程仍然离不开计数器的操作。
如果给出一个千位数的乘法运算，我们还能解决吗？
如果把3242看成是3242个一，那确实是太难了，但是如果按照位值制来分析，这个算式好像也没有那么可怕，反而很好玩嘛！
就这样，在浪漫阶段，我们不断遭遇问题，不断感受计数器操作中更大数位的”满十进一“，在语言描述中尝试用数位“千”来分析问题。万以内数的大门，已经被我们轻轻叩起。
精确阶段：建构万以内的大数观念
有了浪漫阶段的操作经验之后，小贝壳们很容易就发现千位上满十之后就是10个千，这个时候我们可以在万位上拨一颗珠子表示一个万，10千就等于一个万。同时一个特别好玩的问题就被提了出来——我们可以用多少种方法在计数器上来表示数字1万呢？
刚开始，小贝壳们觉得只有两种方法——万位上的1颗珠子，或者千位上的10颗珠子。
但有人没有放弃。哈哈，我有了——千位上9颗珠子，百位上10颗珠子也可以表示数字1万。
这下孩子们立马想到了还可以用千位上的9颗珠子，百位上的9颗数字，十位上的10颗珠子表示；当然我们还可以把个位上的珠子也用上：千位上的9颗珠子，百位上的9颗珠子，十位上的9颗珠子，个位上的10颗珠子。就这样我们在计数器上用了5种方法来表示数字1万。这种数的惊异感让小贝壳们欣喜若狂，原来数字1万可以这么好玩。
有了计数器的操作经验之后，我们就开始尝试将文字语言，符号语言，图形语言进行沟通，用多种方法来表示万以内的数字。
有些小贝壳，开始挑战用多种跳数轴的方法来表示大数，在这个过程中儿童脑海中的十进制和位值制观念变得更加灵活。
如果这个数字中包含0呢？我们又该如何用四种语言来表示它呢？孩子们第一次遭遇这样的问题，他们开始懂得，任何表达方式不仅仅是为了将信息准确传达，还需要简洁高效。
至此，在一系列游戏活动之后，个，十，百，千，万彼此之间的十进制关系已经在儿童脑海中扎下了根。但任意数位之间的关系又是怎样的呢？我们先从直观的模型图中做了沟通。
但这还远远不够，儿童还需要更加直观，可操作，可互动的模型来帮助自己在脑海中进行反省抽象，从而建构万以内数的观念，这个模型就是数轴。
一大格表示1个千，一小格呢？小贝壳们不难答出是1个百。那么这一小格还可以表示什么？儿童对于100有着丰富的生活经验和操作经验，他们会立马发现，这一小格还可以表示10个十，100个一。于是借助数轴模型，我们从0开始往前跳，每次跳一大格，既可以表示100个十，也可以表示10个百，还可以表示1个千，就这样跳到了数字10000的位置，我们一共跳了1000个十，100个百，10个千。
其实这个游戏是可以在教室里真正玩起来的，但疫情期，我们只好用小手指的滑动来代替小脚丫的移动，同时语言的描述过程一定不可缺少，这样的语言描述过程会帮助他们真正理解任意数位之间的转化关系。
欢迎点击连接，观看孩子们在家“跳数轴”的过程。
“万”与“百”之间的关系
理解了不同数位之间的关系之后，孩子们在数轴上表示大数就变得更加游刃有余！
还记得寒假我们玩的数米游戏吗？想不想知道1万粒米大约有多少呢？那就玩起来吧！
我特别像知道1万，这么大的数字你们会用什么方法数出来，会一颗一颗地计数吗？
有两个小贝壳在家找了一个大概可以盛100粒米的小容器，然后这样盛了100次，也就是100个百，数出得到了大约10000粒米。哈哈，位值制思想就这样用上了。
还有人觉得这样100，100地数，数上100次还是太麻烦。看看，小家伙先自制了一个可以盛100粒米的小容器，数出大约1000粒米，也就是10个100之后，再制作一个可以盛1000粒米的容器，盛10次就是10000粒米。
这不就是度量思想实际应用吗？根据需要不断发明适合的度量单位，如果要计更大的数量，万也不够用了，那就发明更大的计数单位呗，用小贝壳的话说就是做更大点的容器。
综合部分：万以内数观念的应用
1.比大小
随着数位的扩充，数字也变得越来越复杂。小贝壳们还能顺利比较数的大小吗？
勋，竟然用了两种方法来比较数的大小：减法计算，数轴。这个小家伙正在努力使自己得出结论的过程有理有据，大数的加减法运算和之前一直在使用的数轴都成了他解决问题的工具。其实大数的比较可以比你们想的要简单很多：数位不同，数位多的数字大；数位相同，从高位比起更方便。但孩子们的超前表现让我相信他们脑海中的大数观念是灵活可生长的。
2.运算
我们在结合一个具体情境的时候，他们脑海中已有的运算观念彻底被激活，当加减乘法（除法还没有正式学习）与大数相遇，会发生什么奇妙的化学反应呢？买4台电视机和一台冰箱需要多少钱？
孩子们很容易就列出了算式，有的嘴快的小家伙连答案10000元都报了出来。当老师追问你是怎么算的？小家伙们相当自信：因为4×1=4，3×2=6，4＋6=10，所以结果就是10000元啊！我一推就推出来了。
哈哈，这样的描述也太不负责任了吧！孩子们也意识到了虽然4×1与4×1000之间是有某种相似性，但是就是没有办法用语言描述出来。这个时候乘法的本质含义和位值制观念就在课堂上的讨论中被再次激活了！
之后，小贝壳们的语言就严谨了很多，他们知道数学是不能凭感觉是“推”的，是要讲“道理”的。而这个单元我们要讲的“道理”就是大数的位值制观念在运算中的应用。
对于9000－3000=6000这个显然，需要讲清楚道理的算式，我们竟然尝试了多种方法，既可以用数位千来计算，也可以用数位百，十。
最后孩子们一致同意，按照“千”这个计数单位去计算最简单，也就是把9000看成9个千，把3000看成是3个千，9个千－3个千=6个千=6000.
当位值制真的可以成为孩子们解决问题的工具时，更加复杂的多位数计算他们也敢挑战。每个孩子都发来了自己拨计数器的过程——
看看孩子们生动的语言表达，心都要化了——
大数的计算大数的计算
计数器表示
其中竟然出现了四种不同的计算方法——
还有人在尝试用三种语言——文字语言，图形语言，符号语言去描述自己的计算过程——
我们不仅为更大数的计算做好了充足的准备，而且已经在尝试让自己的语言更加严谨，三种语言的互译在慢慢成为孩子们思维的工具。
3.估算
估数游戏中我们又展开了激烈的讨论：一台冰箱价钱是3198元，如果我要去买这台冰箱，大概带多少元就可以了？将冰箱的价钱3198元估成10000元你们认同吗？
如果要估算成1万（小作者应该想表示1万，却写成了10万。）你们认同吗？孩子们立马提出了自己的反对意见，估数不能离准确值太远，要尽量准确。那么估成3000元怎么样？
马上又有人不同意了：我们如果要去买这台冰箱，估成3000元也不够啊！还是估成3200元比较合适。孩子们的理解是在情景中的，这样的估数才是有意义的。
不得不承认疫情期间，这章我们走了“很久”。一张清晰的脑图是很必要的，小贝壳们在老师的带领下尝试了这学期的第一次脑图制作。
相信在这学期结束的时候，脑图会真正成为孩子们梳理一单元学习历程的思维工具。
那么未来会学习什么呢？看看小贝壳们怎么说——
更大的计数单位，更复杂的计算……这个真是是一个更加广阔的世界啊！