剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/xuan-zhuan-shu-zu-de-zui-xiao-shu-zi-lcof
题目
把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。
示例 1：
输入：[3,4,5,1,2]
输出：1
示例 2：
输入：[2,2,2,0,1]
输出：0
注意：本题与主站 154 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/
解题思路
思路：二分查找
先审题，重复一下【旋转数组】的概念。在这里，旋转数组指的是将升序排列数组的前面若干个元素放到数组末尾。
那么，按照这个概念，我们可以发现。数组旋转后，会将原数组 nums 拆分成两个升序排序的数组，设为 nums1、nums2，而且被放置在末尾部分的数组 nums2 的元素会小于或等于前面部分的数组 nums1 的元素（这里会出现等于，是因为元素可能重复，待会再分析）。那么现在的问题就是如何找到旋转后两个升序的数组？因为只要找到旋转后的两个数组，nums2 数组中的首元素就是要求的答案。
那么，在这里，我们可以考虑使用二分查找的方法，找到一个分界点（这个分界点为放置在末尾升序数组的首元素），分界点左边的数组为 nums1，分界点右边（含分界点）的数组为 nums2。
具体的思路如下（下面内容中，出现 nums1 表示旋转后左边升序数组， nums2 表示旋转后放置末尾的右边升序数组）：
- 首先，定义指针
left,right分别指向nums数组的首尾两端，而mid为每次二分查找的中点； - 开始进行比较（
nums1的元素大于或等于nums2的元素），这里会出现以下三种情况：- 如果
nums[mid] > nums[right]时，那么mid一定是nums1这个数组当中，此时分界点落在区间(mid, right]，令left=mid+1； - 如果
nums[mid] < nums[right]时，那么mid则在nums2数组当中，此时分界点落在区间[left, mid]，令right=mid; - 如果
nums[mid] == nums[right]（这里是因为允许元素重复），这里就会出现边界模糊的情况，先说结论（后面分析），让right指针往前移动，令right -= 1。
- 如果
这里就 nums[mid] == nums[right] 的情况进行分析，假设给定数组为 [1, 1, 0, 1] 和 [1, 0, 1, 1, 1]，那么会有如下的情况
- 当给定数组
[1, 1, 0, 1]，针对这种情况，left = 0, right = 3, mid = 1：-
nums[mid] == nums[right]，这个时候 mid 在左边的数组nums1中。
-
- 当给定数组
[1, 0, 1, 1, 1]，此时left = 0, right = 4, mid = 2：-
nums[mid] == nums[right]，但此时 mid 在右边的数组nums2中。
-
在这里，无法直接判断 mid 落在 nums1 还是 nums2 中。在前面中给出结论，令 right -= 1 来解决这个问题，根据上面分析可能出现的情况，现在分析这个结论可行性：
- 当
mid落在nums1数组中，因为nums1的任一元素大于或等于nums2中的元素，也就是说（设分界点为point）nums[point] <= nums[mid] == nums[right]，那么：- 若
nums[point] < nums[right]时，这里说明right左侧的元素还有小值，令right -= 1后，point还是在[left, right]这个区间当中； - 如果
nums[point] == nums[right]时，这里要注意分界点索引point与right相等的情况。这个时候，令right-=1，此时point将不在[left, right]这个区间当中。假设有如下的数组[1, 1, 2, 1]，在这里left = 0, right = 3, mid = 1，我们可以看到分界点就是最后的那个 1。此时point == right，若令right -= 1，那么这里最后的1将会被丢弃。但是最终结果还是会返回1，因为舍弃最后的1后，继续二分查找，分界点一定会落在[left, mid]中，而且这个区间的元素值都等于nums[point]。所以能够返回正确值。
- 若
- 当
mid落在nums2数组中，也就是说[mid, right]这个区间的所有元素值都是相等的。此时令right -= 1只是舍弃一个重复值，而point还是落在[left, right]这个区间当中。
以下是算法实现的图解：
具体实现代码如下。
代码实现
class Solution:
def minArray(self, numbers: List[int]) -> int:
left = 0
right = len(numbers) - 1
while left < right:
# 取中点
mid = left + (right - left) // 2
# 如果 numbers[mid] > numbers[right] ,分界点落在 (mid, right]
if numbers[mid] > numbers[right]:
left = mid + 1
# numbers[mid] < numbers[right]，分界点落在 [left, mid]
elif numbers[mid] < numbers[right]:
right = mid
# numbers[mid] == numbers[right]，令 right-=1，此结论可行性已在文章进行分析
else:
right -= 1
return numbers[left]
实现结果
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