中国剩余定理(孙子定理)

  一些相关基本概念:群论、模运算、费马小定理、公约数、最大公约数、互质、逆元。

  公约数:如果 $ d $ 是 $ a $ 的约数并且 $ d $ 也是 $ b $ 的约数,则 $ d $ 是 $ a $ 与 $ b $ 的公约数。

  最大公约数:两个不同时为 $ 0 $ 的整数 $ a $ 与 $ b $ 的公约数中最大的数称为最大公约数,记作 $ gcd(a, b) $ 。

    $ gcd $ 函数的基本性质:

$$ \begin{align} gcd(a, b) &= gcd(b, a) \\ gcd(a, b) &= gcd(-a, b) \\ gcd(a, b) &= gcd(|a|, |b|) \\ gcd(a, 0) &= |a| \\ gcd(a, ka) &= |a| \quad 对任意k \in \mathbb{Z} \end{align} $$

    推论:

$$ gcd(an, bn) = n \  gcd(a, b) $$

  互质:当 $ gcd(a, b) = 1 $ 时,称 $ a $ 与 $ b $ 互质。

    一些常用的判断条件:两个质数一定为互质数;一个质数与另一个不为其倍数的数为互质数;相邻的两个自然数是互质数;相邻的两个奇数是互质数。。。详细可见互质-百度百科。

  逆元

    对每个 $ a \in S $,存在唯一的元素 $ b \in S $,称为a的逆元,满足 $ a \oplus  b = b \oplus a = e $

    其中$ e $为该群的单位元,乘法逆元的存在且唯一的条件是 $ gcd(a, b) = 1 $ 。

 

  现在来考虑一个模线性方程:

$$ ax \equiv b(mod \  n) $$

  P.S.该方程可用在RSA公钥加密系统中。

  几条很有用的定理及推论:

  定理1

    对任意正整数 $ a $ 和 $ n $ ,如果 $ d=gcd(a, n)  $ ,则在 $ \mathbb{Z}_n $ 中,

      $ = = {0,d,2d, \cdot \cdot \cdot ,(\frac{n}{d} - 1)d} $

    因此, $ || = \frac{n}{d} $ ,其中 $ $ 表示由 $ a $ 生成的 $ \mathbb{Z}_n $ 的子群。

  推论1  当且仅当 $ d|b $ 时,方程 $ ax \equiv b(mod n)  $ 对于未知量 $ x $ 有解,这里 $ d = gcd(a, n). $

  推论2  方程 $ ax \equiv b(mod n) $ 或对模 $ n $ 有 $ d $ 个不同的解,或者无解,这里 $ d = gcd(a, n). $

  定理2

    令 $ d = gcd(a, n) $  ,假设对某些整数 $ x' $ 和 $ y' $  ,有 $ ax' + ny'.  $

    如果 $ d|b $ ,则方程 $ ax \equiv b \ (mod \ n) $ 有一个解的值为 $ x_0 $ ,这里 $ x_0 = x' \ \frac{b}{d} \ mod \ n. $

  定理3

    假设方程 $ ax \equiv b(mod \ n) $ 有解(即 $ d|b $ , 这里 $ d = gcd(a, n) $ ),且 $ x_0 $ 是该方程的任意一个解。 $

    因此,该方程对模 $ n $ 恰有 $ d $ 个不同的解,分别为 $ x_i = x_0 + i \ \frac{n}{d} $ ,这里 $ i = 0,1, \cdot \cdot \cdot ,d - 1. $

  推论3  对于任意 $ n > 1 $,如果 $ gcd(a, n) = 1 $(即互质), 则方程 $ ax \equiv b(mod \ n) $ 对模 $ n $ 有唯一解。如果 $ b = 1 $ ,则要求的 $ x $ 是 $ a $ 对模 $ n $ 的乘法逆元。

  推论4  对于任意 $ n > 1 $ ,如果 $ gcd(a, n) = 1 $ , 那么方程 $ ax \equiv 1(mod \ n) $ 对模 $ n $ 有唯一解;否则方程无解。在 $ a $ 和 $ n $ 互质时,可以用记号 $ a^{-1} \ mod \ n $ 来表示 $ a $ 对模 $ n $ 的乘法逆元。此时 $ gcd(a, n) = 1 = ax + ny $ 意味着 $ ax \equiv 1(mod \ n). $

  上面这两条推论我认为很重要,证明暂且略过不写了,因为证明还是看书最好。

  费马小定理

中国剩余定理(孙子定理)_第1张图片

  费马小定理实际上是欧拉函数的一个特殊情况,可以利用费马小定理求逆元:

$$ \begin{aligned} a^{p - 1} &\equiv 1 \ (mod \ p) \\ a \cdot a^{p - 2} &\equiv 1 \ (mod \ p) \end{aligned} $$

$$ ax \equiv 1 \ (mod \ p) \Rightarrow x = a^{p - 2} mod \ p $$

  现在来考虑如下同余方程组:

$$ \left\{\begin{aligned} x &= a_1 \ (mod \ m_1) \\ x &= a_2 \  (mod \ m_2) \\ & \cdot \cdot \cdot \\ x &= a_n \  (mod \ m_n) \end{aligned} \right. $$

  前面做的题中提到过,该方程组有解的条件是 mi 两两互质,并且通解形式为:

$$ x = kM + \sum a_i t_i M_i , \quad k \in \mathbb{Z} $$

  而在模 M 的意义下才有唯一解,解的形式为:

$$ x = \begin{pmatrix} \sum a_i t_i M_i \end{pmatrix} mod \ M $$

    其中 $ M = \prod m_i \ , \ M_i = \frac{M}{m_i} $, $ t_i $ 为 $ M_i $ 的逆元, $ a_i $ 为余数。

  最后,用之前做的例题来计算一下:

    $ m = 3,5,7 $ ,将其写为方程组形式:

$$ \left\{\begin{aligned} x &= a_1 \ (mod \ 3) \\ x &= a_2 \ (mod \ 5) \\ x &= a_3 \ (mod \ 7) \end{aligned} \right. $$

    于是 $ M = 105, M_1 = 35, M_2 = 21, M_3 = 15 $ 。下面求逆元,这里可以用费马小定理来求解,也可以通过扩展欧几里得算法来求解,或者还可以肉眼计算。

    由 $ M_i t_i \equiv 1 \ (mod \ m_i) $

    费马小定理:

$$ \begin{aligned} 35 \ t_1 &\equiv 1 \ (mod \ 3) \\ \\ 35 \cdot 35^1 &\equiv 1 \ (mod \ 3) \Rightarrow \begin{aligned} t_1 &= 35^1 \ mod \ 3 \\ &= (3 \cdot 11 + 2) \ mod \ 3 \\ &= 2 \end{aligned} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 21 \ t_2 &\equiv 1 \ (mod \ 5) \\ \\ 21 \cdot 21^3 &\equiv 1 \ (mod \ 5) \Rightarrow \begin{aligned} t_2 &= 21^3 \ mod \ 5 \\ &= (21^2 \cdot 21) \ mod \ 5 \\ &= 21 \ mod \ 5 \\ &= (4 \cdot 5 + 1) \ mod \ 5 \\ &= 1 \end{aligned} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 15 \ t_3 &\equiv 1 \ (mod \ 7) \\ \\ 15 \cdot 15^5 &\equiv 1 \ (mod \ 7) \Rightarrow \begin{aligned} t_3 &= 15^5 \ mod \ 7 \\ &= (15^4 \cdot 15) \ mod \ 7 \\ &= 15 \ mod \ 7 \\ &= (2 \cdot 7 + 1) \ mod \ 7 \\ &= 1 \end{aligned} \end{aligned} $$

    肉眼观察法:

$$ \begin{aligned} 35 \ t_1 &\equiv 1 \ (mod \ 3) \\ \\ 35 \cdot 2 &\equiv 1 \ (mod \ 3) \Rightarrow t_1 = 2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 21 \ t_2 &\equiv 1 \ (mod \ 5) \\ \\ 21 \cdot 1 &\equiv 1 \ (mod \ 5) \Rightarrow t_2 = 1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 15 \ t_3 &\equiv 1 \ (mod \ 7) \\ \\ 15 \cdot 1 &\equiv 1 \ (mod \ 7) \Rightarrow t_3 = 1 \end{aligned} $$

    两种方法都求出了t1 = 2, t2 = 1, t3 = 1,又

$$ x = \begin{pmatrix} \sum a_i t_i M_i \end{pmatrix} mod \ M $$

    且 M = 105, M1 = 35, M2 = 21, M3 = 15。于是可得到公式 x = [a·(35×2) + b·21 + c·15]%105。

  主要参考:

    1.https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E8%B4%A8/577412?fr=aladdin

    2.https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/4776158?fr=aladdin

    3.https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%80%86%E5%85%83/5831857?fr=aladdin

    4.https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%99%E5%AD%90%E5%AE%9A%E7%90%86/2841597?fr=aladdin

    5.https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0

    6.算法导论

  其他参考:

    7.https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html

 

转载于:https://www.cnblogs.com/darkchii/p/9235068.html

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