牛顿插值公式

均差（差商）

• f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0 　　　　　　　 一阶
• f[x0,x1,x2]=f(x1,x2)−f(x0,x1)x2−x0 　二阶
  ⋮

性质

1.对上述二解均差展开，得，
f[x0,x1,x2]=f(x0)(x0−x1)(x0−x2)+f(x1)(x1−x0)(x1−x2)+f(x2)(x2−x0)(x2−x1)
依次类推
有， n 阶均差可表示为 f(x0),⋯,f(xn) 的线性组合，且有，
f[x0,x1,⋯,xn]=∑i=1nf(xi)w′n+1(xi)
2.均差与节点的顺序无关
f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,⋯,xk]−f[x0,⋯,xk−1]xk−x0 (分母为不同的两个 xi 相减)
3. f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!,a<ξ,x1,⋯,xn<b

牛顿插值公式

利用均差进行迭代，得，

f(x)==⋮=f(x0)+f[x,x0](x−x0)f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x,x0,x1](x−x0)(x−x1)f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)+f[x,x0,x1,⋯,xn]wn+1(x)

除最后一项的前面项之和为 Nn(x) ,最后一项为插值余项 Rn(x) ,则 f(x)=Nn(x)+Rn(x) ,其中 Nn(x) 为牛顿插值公式，即 f(x)≈Nn(x) 。
当插值节点已知后，还需知其前 n 阶均差，就可算出 Nn(x) ,均差的计算通常要用到均差表。

均差表的建立

其中，以 f[x1,x2,x3] 为例，分子为前面一阶均差的两项，分母则为 x1,x3 (以 f[x1,x2,x3] 为顶点作两条线，其中 f(xk) 所对应的 xk 即为作为分母的 xk )。
- 对性质3的证明
已知在给定插值节点 x0,x1,⋯,xn 处, Rn(x)=f(x)−Nn(x)=0 ,即 Rn(x) 共有 n+1 个零点，则根据罗尔定理，存在 a<ξ<b ,使得 R(n)n(ξ)=0 ,即
f(n)(ξ)−f[x0,x1,⋯,xn]n!=0
f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!,a<ξ,x1,⋯,xn<b

埃尔米特插值（插值条件与导数有关）

两种情况的描述

插值条件满足

x	x0	x1	x2
f(x)	f(x0)	f(x1)	f(x2)
f′(x)		f′(x1)

或

x	x0	x1
f(x)	y0	y1
f′(x)	y′0	y′1

对于这两种情况，不仅要满足函数值得要求，还要满足其导数的要求。
- 对于第一种情况，有
H3(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)
再利用 H′3(x1)=f′(x1) 求出 A 。
- 对于第二种情况
H3(x)=y0α0(x)+y1 α1(x)+y′0β0(x)+y′1β1(x) （ α0(x) 等均为3次多项式）
其中，对 α0(x) ,有，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪α0(x0)=1α0(x1)=0α′0(x0)=0α′0(x1)=0

构造 α0(x)=(x−x1)2(ax+b) ,利用上述式子求出 a,b 。
构造一个4次多项式 P4(x) ,满足

x	0	1	2
f(x)	2	-4	44
f′(x)	-9	4

- 1.设多项式为 P4(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e ,代入求解。
- 2.其差商表为

x	f(x)	一阶	二阶
0	2
1	-4	-6
2	44	48	27

构造 P4(x)=2−6x+27x(x−1)+(ax+b)x(x−1)(x−2) ,代入，求出 a,b
-3. 重节点
建立如下的差商表

x	f(x)	一阶	二阶	三阶	四阶
0	2
0	2	-9
1	-4	-6	3
1	-4	4	10	7
2	44	48	44	17	5

构造多项式 P4(x)=2−9x+3x2+7x2(x−1)+5x2(x−1)2=5x4−3x3+x2−9x+2 。