第十一届蓝桥杯省赛第一场C++A/B组真题题解：T4整数拼接

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_n$。

你可以从中选出两个数 $A_i$ 和 $A_j$($i$ 不等于 $j$)，然后将 $A_i$ 和 $A_j$ 一前一后拼成一个新的整数。

例如 12 和 345 可以拼成 12345 或 34512。

注意交换 $A_i$ 和 $A_j$ 的顺序总是被视为 2 种拼法，即便是 $A_i=A_j$ 时。

请你计算有多少种拼法满足拼出的整数是 $K$ 的倍数。

输入格式

第一行包含 2 个整数 $n$ 和 $K$。

第二行包含 n 个整数 $A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_n$。

输出格式

一个整数代表答案。

数据范围

$1\le n\le 10^5$,
$1\le K\le 10^5$,
$1\le A_i\le 10^9$

输入样例

4 2
1 2 3 4

输出样例

6

算法思想（哈希）

根据题目描述，求$A_i$ 和 $A_j$组成的整数$\overline{A_i{A}_j}$能够整除$K$的方案总数。进一步分析$\overline{A_i{A}_j}=A_i\times 10^t+A_j$，其中$t$表示$A_j$的位数。那么对于每个$A_j$来说，要求$A_i\times 10^t+A_j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}K)$的方案数，即求$A_i\times 10^t\equiv -A_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}K)$的方案数。

通过上述分析，可以使用哈希表存储所有$A_i\times 10^t\%K$的方案数。不妨设$v=A_i\times 10^t\%K$，那么$h[t][v]$表示$A_i\times 10^t\%K$值为$v$的方案数。由于$1\le A_i\le 10^9$，所以$0\le t\le 10$；而$1\le K\le 10^5$，所以$0\le v\le 10$。

那么对于每个$A_i$来说，只需要累加哈希表中$h[t][v]$的方案数即可，其中$t=A_i$的位数，$v=(K-A_i\%K)\%K$，即$-A[i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}K)$的值。

注意，如果$A_i\times 10^t\%K$的值也等于$v$，为了保证选出的两个数 $A_i$ 和 $A_j$($i$ 不等于 $j$)，所以方案总数要减去1。

时间复杂度

需要遍历每个$A_i$，查询哈希表中$h[t][v]$的值，所以时间复杂度为$O(n\times t)=10^6$ 。

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010;
int a[N];
int h[11][N];

int main()
{
     
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
   
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
     
        LL v = a[i] % k; //求余数v
        //处理哈希表中h[t][v]的值，即a[i]×10^t % k的方案数
        for(int t = 0; t < 11; t ++)
        {
     
            h[t][v] ++; 
            v = v * 10 % k;
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
     
        //计算a[i]的长度
        int t = to_string(a[i]).size();
        //计算−a[i](mod K)的值
        LL v = (k - a[i] % k) % k;
        
        //累加哈希表中h[t][v]的方案数
        res += h[t][v];
        
        //特殊处理a[i]×10^t%k的值也等于v的情况
        LL r = a[i] % k;
        while(t --) r = r * 10 % k;
        if(r == v) res --;
        
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}