2020-01-15 QFT:modern calculus

紧锣密鼓的课程，知识在头脑中爆炸。前半程的课程是：string phenomenology，advanced dynamics in d=2+1 QFT, machine learning& deep learning, quantum information.

我最感兴趣的还是QFT的部分，结合Seiberg string 2019的QFT vision talk食用，风味更佳，我也终于对Seiberg他们的工作有了一点理解。一个让我突破思维的关键就是要结合condense matter physics的方面来理解量子场论。
在school还有Seiberg的talk中都提到的一个观点是：QFT并不是一个topic而是一种language，虽然QFT是在研究基本粒子理论时发展起来的，但是现在已经被应用到理论物理的方方面面，就如同微积分一样。作为语言的强大的地方就是，无论什么问题，我们都可以尝试用场论的模型是思想来考虑，场论本身给我们提供了数学之外的“物理图像”。抛开粒子物理，我们就可以从更一般的角度来理解场论本身。粒子物理本身的subject就是场，但是对于其他的问题，怎么自然引入场的感念，换句话说，场究极是描述了什么样的自由度。
从高能的角度来说，就是不关心真正的UV completion，只考虑低能的物理，就是我们使用的有效场论。
从凝聚态的角度来说，UV理论就是一个lattice model，我们可以放任何的自由度进去，但是如果我们只关心long distance的物理，也就是我们RG flow的IR, 我们总是可以到一个经典的统计场论。某处程度来说，一个thermo的经典场论等价于一个zero temperature的量子场论（这个场论和高能物理中遇到的场论是同一种东西）。
知道了场论描述了什么，很自然地就是对场论分类。

1. Trivially gapped model (massive field theory)。可以理解为背后的lattice model在全部参数空间并不存在任何有趣的long distance 物理，低能下，没有任何激发，也就只有一个真空态。
2. Gapless model (CFT)。这也是general RG flow 的结论。
3. Topological order. 虽然理论还是gapped，但是真空态不是trivial的，比如真空态是一个纠缠态？这是什么意思？non-trival真空态的直观意义用lattice的描述就是，它不能写成一个lattice上每一个site的乘积形式。

接下来的问题，上面的情形分别在什么情况下会出现。前两种情况比较简单，对于短程相互作用的lattice model，一般都对应了情形1，只有当model存在二级相变的时候，也就是存在critical point的时候，就对应了第二种情形。这里出现的一个有趣的现象就是duality，就是可能同一个UV（lattice）model的IR physics 可以用不同的场论理论来描述。如何寻找duality？
刚才我们提到massive field theory是低能下是trivial的，我们可以在UV理论上加入任意的massive field theory，他们对应的IR physics应该也是等价的，但是加入的massive field theory和原有的 UV的自由度相互作用，会导致不同的IR理论。这样就给出了duality。这也引入了一个 deformation class of the QFT的概念。一个猜测是，多有的对偶理论在deformation class这个空间里都是连续的，也就是说所有对偶都可以用上面说的方法实现。而deformation class是由global symmetry还有‘t Hooft anomaly来organize（分类）。

第三种情形是最近才发现的。如何理解拓扑序呢？简单的来说，可以认为真空态是由一个拓扑场论来描述的。比如Chen-Simons理论，我们知道Chen-Simons理论的Hilbert空间并不是trivial的，因为可以加入一些defects 。因为理论是拓扑的，我们移动这些defect，但是我们发现，如果我们让一个defect绕着另一个defect移动一周，会给出了一个拓扑不变量。