从二阶导数到平面波

1. 二阶导数

为方便起见，以下均用偏微分方式表示。
函数$f(x)$在点$x-\Delta x$的导数为
$$\frac{\partial f(x-\Delta x)}{\partial x}=\frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(1)}$$
函数$f(x)$在点$x$的导数为
$$\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(2)}$$
由于函数$f(x)$经过$\Delta x$后进行了上述改变，所以它在$x$的二阶导数为
$$\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}=\frac{\frac{\partial f(x)}{\partial x}-\frac{\partial f(x-\Delta x)}{\partial x}}{\Delta x}=\frac{f(x-\Delta x)+f(x+\Delta x)-2f(x)}{\Delta x^2}\text{\hspace{1em}(3)}$$
上述所有式子，需要$\Delta x\to 0^{+}$，但实际数据无法达到要求。

2. 有限差分

将(3)式的$\Delta x$替换为$h$，可得
$$\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}\approx \frac{f(x-h)+f(x+h)-2f(x)}{h^2}\text{\hspace{1em}(4)}$$
这里只能使用约等于。
由于$h$不是太靠近0，我们希望用多个邻域的值进行计算。因此，我们将(4)式扩展为
$$\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}\approx \frac{f(x-jh)+f(x+jh)-2f(x)}{(jh{)}^2}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$j=1,2,\dots ,m$.
进一步引入$\mathbf{C}=(c_1,\dots ,c_m)$, 其中
$$0\le c_j\le 1,\sum _{j=1}^m{c}_j=1\text{\hspace{1em}(6)}$$
将$c_j$乘入(5)式的左右，可得：
$$c_j\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}\approx c_j\frac{f(x-jh)+f(x+jh)-2f(x)}{(jh{)}^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$
取不同的$c_j$且累加(6)式，可得
$$\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}\approx \sum _{j=1}^m{c}_j\frac{f(x-jh)+f(x+jh)-2f(x)}{(jh{)}^2}\text{\hspace{1em}(8)}$$
由于离得越近，影响越大，我们强加一个条件：
$$c_1\ge c_2\cdots \ge c_m\text{\hspace{1em}(9)}$$
另外，我们不希望只有少数数据起到作用，因此增加
$$\Vert \mathbf{C}{\Vert }_2^2=\sum _{j=1}^m{c}_j^2\text{\hspace{1em}(10)}$$
$\mathbf{C}$内部的值分布越均匀，其二范数越小。作为一种极端情况，当$c_1=1$时，$\Vert \mathbf{C}{\Vert }_2^2$达到最大值1. 需要避免这类情况，因此利用$\Vert \mathbf{C}{\Vert }_2^2$建立正则项。
我们的任务，就是需要为给定的$f(x)$，求到合适的$\mathbf{C}$. 相应的问题可以描述为：
输入：$f(x)$, $h$, $m$;
优化目标：
$$\underset{\mathbf{C}}{\min }\left|\frac{\partial f^2(x)}{\partial x^2}-\sum _{j=1}^m{c}_j\frac{f(x-jh)+f(x+jh)-2f(x)}{(jh{)}^2}\right|+\lambda \Vert \mathbf{C}{\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(11)}$$
约束条件：st.
$$0\le c_j\le 1,\sum _{j=1}^m{c}_j=1\text{\hspace{1em}(6)}$$
针对不同的$f(x)$，可以利用本问题的定义，获取最优的$\mathbf{C}$.
吐槽一下：如果是实际观测数据来解还有意义，理论模型的话，凭什么我要把最近数据（距离为$h$）的份额（用$c_j$表示）让给更远（$2h$到$mh$）的数据？

3. 平面波的有限差分

平面波函数为
$$f(x)=f_0{e}^{\mathrm{i}kx}$$
其中$\mathrm{i}=\sqrt{-1}$. 注意$\mathrm{i}$表示虚数，要用mathrm来描述其字体。
将其代入求解即可。