快速幂实现pow函数（从二分和二进制两种角度理解快速幂）

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题目

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0.25

提示：

-100.0 < x < 100.0
-231 <= n <= 231-1
-104 <= xn <= 104

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思路

想用累乘处理幂路子就走窄了，超时是板上钉钉的。

用快速幂的思想才符合题目考察的意图，在详说快速幂之前说一个很刁钻的测试用例 —— n=-2147483648。

int的取值范围

我们知道：

• int的取值范围是-2147483648（-2³¹）到2147483647（2³¹ - 1）
• -2147483648有一位符号位可用，因此2147483647是32位操作系统中最大的符号型整型常量。
• 当出现这个刁钻的测试用例时，如果对n粗暴的取绝对值的话，int是容纳不下的，因此当 n<0 时， 需要定义一个long long类型变量 m 来存储 n 的绝对值。

快速幂

从二进制的角度来理解

• 对于任何十进制正整数 n ，设其二进制为
  则有：

• 根据以上推导，可把计算 xⁿ 转化为解决以下两个问题：

• 因此，应用以上操作，可在循环中依次计算
  的值，并将所有累计相乘即可。

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从二分法的角度来理解

快速幂实际上是二分思想的一种应用。

• 二分推导： xⁿ = x^n/2 × x^n/2 = （x²)^n/2，令 n/2 为整数，则需要分为奇偶两种情况（设向下取整除法符号为 “//” ）：

• 幂获取结果：

1. 根据二分推导，可通过循环 x = x² 操作，每次把幂从 n 降至 n//2 ，直至将幂降为 0 ；
2. 设 sum=1 ，则初始状态 xⁿ = xⁿ × sum。在循环二分时，每当 n 为奇数时，将多出的一项 x 乘入 sum ，则最终可化至 xⁿ = x⁰ * sum = sum，返回 sum 即可。

转自作者：jyd

算法流程：

1. 当 x = 0 时：直接返回 0 （避免后续 x = 1 / x 操作报错）。
2. 初始化 sum = 1 ；
3. 当 n < 0 时：把问题转化至 n≥0 的范围内，即执行 x = 1/x ，n = - n ；
4. 循环计算：当 n = 0 时跳出；

• 当 n&1=1 时：将当前 x 乘入 sum（即 sum∗=x ）；
• 执行 x = x²（即 x∗=x ）；
• 执行 n 右移一位（即 n>>=1）。

5. 返回 sum。

代码

class Solution {
     
public:
    double myPow(double x, int n) {
     
        if(x == 0) return 0;
        double sum = 1;
        long long m = n;
        if(n < 0){
     
            x = 1.0/x;
            m = -m;
        }
        while(m > 0){
     
            if(m & 1){
     
                sum *= x;
            }
            x *= x;
            m >>= 1;
        }
        return sum;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度 O(log_2 n)： 二分的时间复杂度为对数级别。
• 空间复杂度 O(1)： sum， b 等变量占用常数大小额外空间。