hdu 4565 So Easy! (共轭构造+矩阵快速幂)

题目链接：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

题目大意：

　　给出a，b，n，m，求出的值，

解题思路：

　　因为题目中出现了开根号，和向上取整后求余，所以用矩阵快速幂加速求解过程的时候，会产生误差，就很自然地想到了凑数，因为(a-1)^2<b<a^2,得出0<a-sqrt(b)<1，则无论n取多大，(a-sqrt(b))^n都是小于1的，(a-sqrt(b))^n 与 (a+sqrt(b))^n共轭，两者展开后会相互抵销，所以((a-sqrt(b))^n + (a+sqrt(b))^n)为整数，假设((a-sqrt(b))^n + (a+sqrt(b))^n)用sn表示，则sn*(a+sqrt(b))+(a-sqrt(b)) = S_n+1 - (a^2-b)*S_n-1,进一步得出 S_n+1 = 2*a*S_n - (a*a - b) * S_n-1，

代码：

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 #include <cstdlib>

 4 #include <algorithm>

 5 #include <iostream>

 6 #include <cmath>

 7 #include <queue>

 8 using namespace std;

 9 #define LL __int64

10 LL a, b, n, m;

11 struct mat

12 {

13     LL p[2][2];

14 };

15 

16 mat mul (mat x, mat y);

17 mat pow (mat x, mat y, LL z);

18 

19 int main ()

20 {

21     mat x, y;

22     while (scanf ("%I64d %I64d %I64d %I64d", &a, &b, &n, &m) != EOF)

23     {

24         memset (x.p, 0, sizeof(x.p));

25         memset (y.p, 0, sizeof(y.p));

26         x.p[0][0] = (2*(a*a+b)%m+m)%m;//要用long long，int相乘的时候会溢出

27         x.p[0][1] = (2*a) % m;

28         y.p[0][0] = (2*a) % m;

29         y.p[0][1] = 1;

30         y.p[1][0] = ((b-a*a)%m+m)%m;

31         //y.p[1][0] = ((b-a*a)+m)%m;//这样取余是错误的，因为还有可能是负数，害wa了好几次

32         x = pow (x, y, n-1);

33         printf ("%I64d\n", x.p[0][1]);

34     }

35     return 0;

36 }

37 

38 mat mul (mat x, mat y)

39 {

40     int i, j, k;

41     mat z;

42     memset (z.p, 0, sizeof(z.p));

43     for (i=0; i<2; i++)

44         for (j=0; j<2; j++)

45         {

46             for (k=0; k<2; k++)

47                  z.p[i][j] += x.p[i][k] * y.p[k][j];

48             z.p[i][j] = (z.p[i][j] + m )% m;

49         }

50     return z;

51 }

52 mat pow (mat x, mat y, LL z)

53 {

54     while (z)

55     {

56         if (z % 2)

57             x = mul(x,y);

58         y = mul (y, y);

59         z /= 2;

60     }

61     return x;

62 }