概率论与蒙特卡罗方法求解积分

在之前的光线追踪中提到，利用大量的随机数来模拟渲染方程的积分。

其方法名称不明觉厉-蒙特卡罗，此文简单解释这种方法的原理。

在这里简化渲染方程

现在我们使用蒙特卡罗方法对这个积分进行求解

设F(x)=f(x)/p(x);

x属于[0,1]

其中p(x)为x在该区间内取到的概率。

有意思的是F(x)的数学期望会是什么呢？

如上所示其数学期望就是我们需要的积分值。

在实际的路径追踪中，对一条光线的追踪过程中我们计算的就是F(x)，设Y = F(x)

我们往往对一个点进行多次计算，我们得到的就是Y1,Y2,Y3,Y4,…….翻开概率论与数理统计教程，我们称其为总体的一个样本。然后把所有的加起来除以N（即其数量），得到的是样本均值。

而样本均值的数学期望就是总体的期望。