概率论与数理统计(2)：一维随机变量及其分布
概率论与数理统计(2)：一维随机变量及其分布
文章目录
- 概率论与数理统计(2)：一维随机变量及其分布
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- 一.随机变量
-
- 1.定义
- 2.分类
-
- ①离散型：只能取有限个或可数个值
- ②连续型：取得某一区间内的任何数值
- 二.离散型随机变量
-
- 1.离散型随机变量的分布列
- 2.常见离散型随机变量
-
- ①两点分布
- ②二项分布
- ③几何分布
- ④泊松分布
- 3.随机变量的分布函数
-
- ①定义
- ②性质
-
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
- 4.定义（离散型随机变量的分布函数）
- 四.连续型随机变量
-
- 1.定义(连续型随机变量及其概率密度)
- 2.常见的连续型随机变量
-
- ①均匀分布
- ②指数分布
- ③正态分布
-
- （1）定义
- （2）正态分布函数
- （3）图象
- （4）正态分布与标准正态分布
-
- a.标准正态分布
- b.转化为标准正态分布
- 五.随机变量函数的分布
-
- 1.随机变量函数定义
- 2.离散型随机变量函数的分布
- 3.连续型随机变量函数的分布
-
- ①严格单调的连续型随机变量函数的分布
- ②分段单调的连续型随机变量函数的分布
一.随机变量
1.定义
设S是某随机试验的样本空间，如果对于每个e∈S，都有一个实数X(e)与其对应，则称X=X(e)为随机变量
注：随机变量用大写字母X,Y,Z表示
2.分类
①离散型：只能取有限个或可数个值
[eg]检验商品，抽取到的次品数
②连续型：取得某一区间内的任何数值
[eg]电视机寿命
二.离散型随机变量
1.离散型随机变量的分布列
| X | x1 | x2 | … | xn | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P | p1 | p2 | … | pn | … |
注:
( 1 ) p i ≥ 0 ( 2 ) ∑ i p i = 1 (1)p_i≥0\\ (2)\sum_ip_i=1 (1)pi≥0(2)i∑pi=1
2.常见离散型随机变量
①两点分布
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 1-p | p |
注：记为
X ∼ ( 0 − 1 ) ， 或 X ∼ B ( 1 , p ) X\sim(0-1)，或X\sim B(1,p) X∼(0−1)，或X∼B(1,p)
②二项分布
若随机变量X有分布列：
P { X = k } = C n k p k q n − k , 0 < p < 1 , q = 1 − p , k = 0 , 1 , . . . , n P\left\{X=k \right\}=C_n^kp^kq^{n-k},\qquad0
称X服从参数为n,p的二项分布，X~B(n,p)
③几何分布
在重复独立试验中，事件A发生的概率为p，设X为直到A发生为止所进行的试验次数，则X的分布列为
P { X = k } = q k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . P\left\{X=k\right\}=q^{k-1}p,\qquad k=1,2,... P{ X=k}=qk−1p,k=1,2,...
则称X服从参数为p的几何分布，X~G§
④泊松分布
若随机变量X的分布列为
P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1... P\left\{X=k\right\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\qquad k=0,1... P{ X=k}=k!λke−λ,k=0,1...
则称X服从参数为λ的泊松分布，X~P(λ)
3.随机变量的分布函数
①定义
设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数
F ( x ) = P { X ≤ x } F(x)=P\left\{X≤x\right\} F(x)=P{ X≤x}
为X的分布函数
P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P\left\{x_1
②性质
(1)
0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , − ∞ < x < ∞ 0\leq F(x)\leq1,-\infty
(2)
若 x 1 < x 2 ， 则 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) , 即 F ( x ) 是 单 调 非 减 的 若x_1
(3)
F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty)=0,\quad F(+\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1
(4)
F ( x ) 右 连 续 ， 即 F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x)右连续，即F(x+0)=F(x) F(x)右连续，即F(x+0)=F(x)
4.定义（离散型随机变量的分布函数）
设离散型随机变量X的分布列为：
P ( X = x k ) = p k , k = 1 , 2 , . . . P(X=x_k)=p_k,\quad k=1,2,... P(X=xk)=pk,k=1,2,...
则X的分布函数为
F ( X ) = P ( X ≤ x ) = ∑ x k ≤ x P ( X = x k ) F(X)=P(X\leq x)=\sum_{x_k\leq x}P(X=x_k) F(X)=P(X≤x)=xk≤x∑P(X=xk)
四.连续型随机变量
1.定义(连续型随机变量及其概率密度)
设F(X)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , F(x)=\int^x_{-\infty}f(t)dt, F(x)=∫−∞xf(t)dt,
称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数
注：
( 1 ) f ( x ) ≥ 0 ( 2 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 (1)f(x)\geq0 \qquad (2)\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=1 (1)f(x)≥0(2)∫−∞+∞f(x)dx=1
注:
令 x 1 → x 2 ， 得 到 P { X = x 2 } = 0 令x_1\rightarrow x_2，得到P\left\{X=x_2\right\}=0 令x1→x2，得到P{ X=x2}=0
(一点处概率为0，概率为0的不一定是不可能事件，不可能事件概率一定为0)
2.常见的连续型随机变量
①均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ x ≤ b , 0 , o t h e r w i s e f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a},\quad a\leq x\leq b , \\ 0,\qquad otherwise \end{matrix}\right. f(x)={ b−a1,a≤x≤b,0,otherwise
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布，X~U[a,b]
②指数分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f ( x ) = { 0 , x ≤ 0 β e − β x , x > 0 f(x)=\left\{\begin{matrix}0,\qquad \qquad x\leq0\\ \beta e^{-\beta x},\qquad x>0 \end{matrix}\right. f(x)={ 0,x≤0βe−βx,x>0
称X服从参数为β的指数分布，X~E(β)
③正态分布
（1）定义
若连续型随机变量X具有概率密度
f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , σ > 0 , − ∞ < x < ∞ f(x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2\sigma^2}} ,\quad\sigma>0,\quad -\infty
称X服从参数为μ，σ2的正态分布，X~N(μ，σ2)
（Normal distribution）
（2）正态分布函数
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = 1 2 π σ ∫ − ∞ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d t F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2\sigma^2}}dt F(x)=∫−∞xf(t)dt=2πσ1∫−∞xe−2σ2(x−μ)2dt
（3）图象
（Ⅰ）概率密度f(x)关于x=μ对称，当x=μ时，f(x)取得最大值
f ( μ ) = 1 2 π σ f(μ)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma} f(μ)=2πσ1
正态分布函数F(x)关于（μ，0.5）对称
（Ⅱ）固定σ，改变μ：图像沿Ox轴平移，形状不变
固定μ，改变σ：σ变大时，p(μ)变小，曲线平缓；σ变小时，p(μ)变大，曲线陡峭
（4）正态分布与标准正态分布
a.标准正态分布
当μ=0，σ2=1时，称X服从标准正态分布：X~N(0,1)
概率密度函数：
φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π1e−2x2
分布函数：
Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − x 2 2 d t \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int ^x_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dt Φ(x)=2π1∫−∞xe−2x2dt
**注：**φ(x)是偶函数，由对称性：
φ ( − x ) = φ ( x ) ， Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x ) \varphi(-x)=\varphi(x)，\qquad \Phi(-x)=1-\Phi(x) φ(−x)=φ(x)，Φ(−x)=1−Φ(x)
b.转化为标准正态分布
若X~N(μ，σ2),则分布函数
F ( x ) = Φ ( x − μ σ ) F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) F(x)=Φ(σx−μ)
P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = Φ ( x 2 − μ σ ) − Φ ( x 1 − μ σ ) P\left\{x_1
五.随机变量函数的分布
（已知X的分布，求函数Y=f(X）的分布）
1.随机变量函数定义
对于一个随机变量X，如果函数Y=f(X)随X的变化而变化，则称Y为X的函数
2.离散型随机变量函数的分布
设离散型随机变量X的分布列为
| X | x1 | x2 | … | xn | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P | p1 | p2 | … | pn | … |
则Y=g(X)也是离散型随机变量，分布列为：
| Y | g(x1) | g(x2) | … | g(xn) | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P | p1 | p2 | … | pn | … |
如果有相同的g(xi),则把相同的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加即可
3.连续型随机变量函数的分布
①严格单调的连续型随机变量函数的分布
设连续型随机变量X的概率密度为fX(x),若y=g(x）严格单调，反函数x=h(y)有连续导数，则Y=g(X)也是连续型随机变量，概率密度
f Y ( y ) = f X ( h ( y ) ) ⋅ ∣ h ′ ( y ) ∣ f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot|h'(y)| fY(y)=fX(h(y))⋅∣h′(y)∣
②分段单调的连续型随机变量函数的分布
设连续型随机变量X的概率密度为fX(x),若y=g(x)是分段单调的连续函数，在互不重叠的区间I1,I2,…上对应的反函数h1(y),h2(y),…有连续导数，则Y=g(X)也是连续型随机变量，概率密度
f Y ( y ) = ∑ i f X ( h i ( y ) ) ⋅ ∣ h ′ ( y ) ∣ f_Y(y)=\sum_if_X(h_i(y))\cdot|h'(y)| fY(y)=i∑fX(hi(y))⋅∣h′(y)∣