蓝桥杯备赛--教你用矩阵优化递推

先导知识

1. 矩阵乘法
   $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$$
   由此可见矩阵乘法不满足交换律！
2. 单位矩阵(矩阵对角线为1，其余都为0，常用E表示)
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& ...& 0\\ 0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & ...& ...& ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   单位矩阵在矩阵世界里相当于常数中的1，任何矩阵乘单位矩阵都等于该矩阵本身
   OK, 接下来进入正题

如何用矩阵优化递推

举例子永远是最好理解新知识的方法。
斐波那契数列，不懂得可以百度一下。主要是说一个数列，前两项为1，从第3项开始数列的值为前两项之和。
用函数表示为：$$Fib(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{n<=2}\\ Fib(n-1)+Fib(n-2)& \text{n > 2}\end{array}$$
有了递推公式，相信求出斐波那契数列的第n项是多少，用递推很好求出来。但是当n大于$10^{18}$时，递推就会超时。
所以接下来介绍另一种求法。
我们从递推公式可以看出，当$n<=2$的时候，$Fib(1)=Fib(2)=1$，那么就可以构造一个Base矩阵作为起始矩阵。
$$Base=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$$
当$n>2$时 $Fib(n)$ 是由 $Fib(n-1)$ 和 $Fib(n-2)$ 决定的。
那么我们就可以构造一个状态转移矩阵 T。
$$\left[\begin{array}{cc}Fib(n-1)& Fib(n-2)\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$
$$=Fib(n-1)+Fib(n-2)$$
$$=Fib(n)$$
而求$Fib(n+1)$需要$Fib(n)$和$Fib(n-1)$，所以还需要求一下$Fib(n-1)$。
$$\left[\begin{array}{cc}Fib(n-1)& Fib(n-2)\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
$$=Fib(n-1)$$
所以这个 T 矩阵就是：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
至此，当你求斐波那契数列的第五项时，对应的矩阵公式就是：
$$Base\ast T^3=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^3=\left[\begin{array}{cc}Fib(5)& Fib(4)\end{array}\right]$$
至此，当你求斐波那契数列的第n项时，对应的矩阵公式就是：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}=\left[\begin{array}{cc}Fib(n)& Fib(n-1)\end{array}\right]$$
所得矩阵得第一行第一列即为结果。
从整个求解过程来看，最重要的就是分析这一步，分析出了 T、Base矩阵，剩下的就是用矩阵快速幂求出 $T^x$。(该题x为n-2)
矩阵快速幂的主要代码：

typedef struct node{
     
	ll m[3][3];
} M;
M e; // 单位矩阵
// 求a*b 
M M_mul(M a, M b){
     
	M c;
	for (int i = 1; i <= 2; ++i){
     
		for (int j = 1; j <= 2; ++j){
     
			c.m[i][j] = 0;
			for (int k = 1; k <= 2; ++k){
     
				c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k]*b.m[k][j]) % MOD;
			}
		}
	}
	return c;
}
// 求a矩阵的times次方 
M M_qpow(M a, ll times){
     
	M res = e; // 先初始化为单位矩阵
	while (times){
     
		if (times & 1) res = M_mul(res, a); // 矩阵乘法 
		a = M_mul(a, a);
		times >>= 1;
	}
	return res;
}

洛谷例题：

1. Chino的数列
2. 斐波那契数列