编程笔试-上台阶问题

题目

已知从山脚到山顶共有m个台阶，一次可爬a-b个台阶，由于年久失修，部分台阶已坏无法站立，已知坏的台阶共有n个并给出所在位置，问共有多少种登山方案（如果无法登山山顶返回0，结果大于则对其取模）？

输入描述

台阶总数m，一次最少可爬台阶数a，一次最大可爬台阶数b，坏掉的台阶n，之后n行为坏掉台阶的编号，编号从1开始。

输出描述

一个数字，代表登山方案的个数

解题思路

思路一：暴力法

枚举所有的登山方案，得到可行的登山方案个数。

思路二：动态规划

为了方便说明，将原问题转化为3个难度递增的小问题进行逐一解决。

1. m级台阶，一次最多可爬1-b个，有多少种登山方案？
2. m级台阶，一次最多可爬a-b个，有多少种登山方案？
3. m级台阶，n级损坏，一次最多可爬a-b个，有多少种登山方案？

问题1

令f(m,b)表示登山方案的个数，第一步可以跨1-b个台阶，若登上1个台阶，则余下的方案个数为f(m-1,b)；若登上k个台阶，则余下的方案个数为f(m-k,b)个，因此可以得到f(m,b)=f(m-1,b)+f(m-2,b)+...+f(m-b,b)，其中m<=0时，f(m,b)=0，m=1时，f(m,b)=1，m=b时，f(m,b)=f(m,b-1)+1。

input_m = 100
input_b = 2
solution_table = {}


def get_solutions(m, b):
    if m <= 0 or b <= 0:
        return 0
    elif m == 1:
        return 1
    elif m == b:
        if (m, b) in solution_table:
            solution = solution_table[(m, b)]
        else:
            solution = get_solutions(m, b - 1) + 1
            solution_table[(m, b)] = solution
        return solution
    else:
        if (m, b) in solution_table:
            solution = solution_table[(m, b)]
        else:
            solution = sum(get_solutions(m - i - 1, b) for i in range(b))
            solution_table[(m, b)] = solution
        return solution


result = get_solutions(input_m, input_b)
result = result % 1000000007
print(result)

问题2

令f(m,a,b)表示登山方案的个数，第一步可以跨a-b个台阶，若登上a个台阶，则余下的方案个数为f(m-a,a,b)；若登上k个台阶，则余下的方案个数为f(m-k,a,b)个，因此可以得到f(m,a,b)=f(m-a,a,b)+f(m-a-1,a,b)+...+f(m-b,a,b)。

input_m = 100
input_a = 2
input_b = 5
solution_table = {}


def get_solutions(m, a, b):
    if m - a < 0:
        return 0
    elif m == a:
        return 1
    elif m >= a + b:
        if (m, a, b) in solution_table:
            solution = solution_table[(m, a, b)]
        else:
            solution = 0
            for i in range(a, b + 1):
                solution += get_solutions(m - i, a, b)
            solution_table[(m, a, b)] = solution
    else:
        if (m, a, b) in solution_table:
            solution = solution_table[(m, a, b)]
        else:
            solution = 0
            for i in range(a, b + 1):
                if m - i > 0:
                    solution += get_solutions(m - i, a, b)
                elif m - i == 0:
                    solution += 1
                else:
                    break
            solution_table[(m, a, b)] = solution
    return solution


result = get_solutions(input_m, input_a, input_b)
result = result % 1000000007
print(result)