虚拟内窥镜VE 医学影像 渲染坐标变换 绕任意向量旋转矩阵

1问题的提出

      内窥图像生成的过程，是在观测点Osn沿着Ysn的方向进行平行光照射，对光线上经过体素进行渲染，渲染得到的结果图像就是内窥镜图像。本文，不讨论光照模型，只关注坐标的变换。所以，关键点就是求Osn到Ov的转换矩阵，进而计算在Osn中的坐标，映射到在坐标系Ov中的实际体素坐标。

 

 

以上的是一个直观的问题描述，在实际渲染算法引擎中，坐标系Osn到坐标Ov之间的变换，是通过一系列的变换的集合，下图就描述了，我们坐标系的定义，其中，比较关键的坐标系是：（坐标系都符合右手螺旋法则）

Ov：原始体素坐标系。坐标方向是Dicom中规定的坐标方向，以图像的左上角为圆心，图像左向右方向是x轴方向，从上到下是y轴方向，z方向是按照右手法则确定，坐标单位是毫米mm。

O：正方体修正坐标系。此坐标系将Ov中最长边作为正方体边长，并且坐标原点和原始Ov的长方体体数据的中心点重合的坐标系。

Ocn：归一化坐标系。归一化是为了后续数值计算方便。将O立方体归一化后，坐标原点和O坐标原点重合。

Osn：内窥镜坐标系。将体素坐标投射到XsnYsn平面上，就是内窥镜的最终的渲染图像。

2 坐标变换

根据上图中的建标方式，可以将坐标的变换分为两步，第一步是，计算Ocn到Osn坐标的变换矩阵，此矩阵可以将Osn中的坐标值转化到Ocn中的坐标值。第二步，Ov到Ocn的变换矩阵，将Ocn中的坐标值转化为Ov坐标值。

2.1 获取Ocn到Osn坐标的转换矩阵

已知内窥镜中，观察点Osn和以及观察方向Ysn，在Ysn方向上任意选择一个点，记做W点。转换矩阵的推导分为三步，

首先，将Osn移动到和Ocn重合，方向不变W点和T点重合。此时转换矩阵为

然后，向量绕Xcn轴，旋转后（角度的正负，都要遵守右手螺旋法则），T点落到P点，P点的坐标是。这个过程的旋转矩阵是

最后，向量绕Zcn轴旋转后，点P落到Ycn坐标轴上，至此，整个过程结束。此过程的旋转矩阵是

综上三个步骤的最终的转换矩阵为

通过，空间解析几何，我们知道

带入到矩阵A中，最终的到转换矩阵是

2.2 获取Ov到Ocn坐标的转换矩阵

此过程比较简单，直接写出如下

xLen, yLen, zLen分别代表三个方向上，体数据的大小，单位是mm，L表示三个值中的最大值。

3 实验效果

下图是气道的一个虚拟内窥镜图