欧拉Euler函数
文章目录
- 概述
-
-
- 概念
- 思想
- 朴素定义式
- 性质
-
- 程序详解
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-
- 朴素暴力
- 埃氏筛欧拉值
- 欧拉筛欧拉值
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- 例题
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- 仪仗队
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- 暴力计算代码
- 埃氏筛欧拉值代码
- 欧拉筛欧拉值
-
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概述
概念
欧拉函数是求小于等于某个数num的所有数中，与num互质的个数
思想
其实就是利用了分解质因数
首先我们举个例子
求小于12的数中与12互质的数（也就是12的欧拉值）
首先我们设置12的欧拉值为12本身（1 ~ 12都算进去）
1.12的质因数中有2，所以所有2的倍数都不能与12互质，所以12中要筛去2的倍数也就是12 / 2 = 6个，我们将值缩小为12 * (2 - 1) / 2 = 6
2.12的质因数有3，所以3的倍数都不能与12互质，所以12中要筛去3的倍数也就是12 / 3 = 4个，所以再将值缩小为6 * (3 - 1) / 3 = 4
然后就没有了，所以12的欧拉值为4，有4个12以内的数能跟12互质（也就是1、5、7、11）
朴素定义式
我们设num的欧拉值为phi[num]
在num所有的质因子中，对于每个质因子x，都能使num的欧拉值筛去num / x个，会变成num * (x - 1) / x个
性质
质数num的欧拉值 = num - 1
欧拉函数为积性函数，即当gcd(x, y) == 1时，phi(x * y) = phi(x) * phi(y)
且n为奇质数时，phi(2 * n) = phi(n)
对于x % y == 0，有phi(x * y) = phi(x) * y
程序详解
朴素暴力
我们可以暴力分解num的质因数，每次对枚举到的质因数x，使phi[num] * (x - 1) / x
inline int PHI(int num){
int res = num;
for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
if(num % i == 0){
//美剧到了质因子
res = res * (i - 1) / i;
while(num % i == 0) num /= i;//抹掉当前质因子
}
}
if(num > 1) res = res * (num - 1) / num;//抹掉可能出现的剩的一个质因子
return res;
}
此方法在建立1 ~ n的欧拉值时所用时间逼近O(n^2)，所以我们需要更快的方法
在学习下面两个之前，如果不懂埃氏筛与欧拉筛的可以点击此处--------传送门
埃氏筛欧拉值
利用了埃氏筛的思想
枚举1 ~ n，如果枚举到的是质数（没被筛过）
每个质数的倍数的欧拉值都可以被当前质数作为质因子筛一遍
const int maxn;
int phi[maxn];//欧拉值
inline void GET_PHI(){
for(int i = 0; i <= maxn; i ++) phi[i] = i;//初始化为本身，因为每个质数的第一次筛都可以变成当前数-1
for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
if(phi[i] == i){
//没有被筛过
for(int j = i; j <= maxn; j += i)
phi[j] = phi[j] * (i - 1) / i;//当前j是以i作为质因子的数
}
}
}
欧拉筛欧拉值
利用了欧拉筛的思想
避免重复筛的情况
节省了时间
const int maxn;
bool isprime[maxn];//isprime[i]表示i是否为质数
int prime[maxn];//prime[i]表示第i个质数的值
int phi[maxn];//欧拉值
int cnt = 0;
inline void GET_PHI(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
if(!isprime[i]) prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= maxn; j ++){
isprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0){
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];//定理：对于i % j == 0，有phi[i * j] = phi[i] * j
break;
}else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);//积性函数：如果gcd(i, j) == 1, phi[i * j] = phi[i] * phi[j]。在这里j为质数，所以有phi[i] * phi[j] = phi[i] * (j - 1)
}
}
}
例题
仪仗队
洛谷《仪仗队》传送门
思路：
这道题我们可以将一个正方形沿对角线拆分成两部分
然后每一个能被看到的点一定是gcd(x, y) = 1的点
对每一行进行分析
在对角线内，gcd = 1的点也就是当前行数的欧拉值
所以我们在不计算(1, 1)的情况下
在一个三角形内，累加行数的欧拉值
再乘二得到两个三角形的欧拉值，再加上(1, 1)这个点即可
暴力计算代码
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*/
//#include inline pair, vector > DIV(T n){T nn = n;map cnt;vector div;for(ll i = 2; i * i <= nn; i ++){while(n % i == 0){if(!cnt[i]) div.push_back(i);cnt[i] ++;n /= i;}}if(n != 1){if(!cnt[n]) div.push_back(n);cnt[n] ++;n /= n;}return {cnt, div};}
inline int PHI(int n){
int res = n;
for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
if(n % i == 0){
res = res * (i - 1) / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) res = res * (n - 1) / n;
return res;
}
CHIVAS{
int n;
cin >> n;
if(n == 1){
cout << 0 << endl;
return 0;
}
int res = 0;
for(int i = 2; i < n; i ++) res += PHI(i);
cout << res * 2 + 3 << endl;
_REGAL;
}
埃氏筛欧拉值代码
/*
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*/
//#include inline pair, vector > DIV(T n){T nn = n;map cnt;vector div;for(ll i = 2; i * i <= nn; i ++){while(n % i == 0){if(!cnt[i]) div.push_back(i);cnt[i] ++;n /= i;}}if(n != 1){if(!cnt[n]) div.push_back(n);cnt[n] ++;n /= n;}return {cnt, div};}
const int maxn = 400005;
int phi[maxn];
int n;
inline void GET_PHI(){
for(int i = 0; i <= n; i ++) phi[i] = i;
for(int i = 2; i <= n; i ++){
if(phi[i] == i){
for(int j = i; j <= n; j += i) phi[j] = phi[j] * (i - 1) / i;
}
}
}
CHIVAS{
cin >> n;
GET_PHI();
int res = 0;
for(int i = 1; i < n; i++) res += phi[i];
cout << (n == 1 ? 0 : (res << 1 | 1)) << endl;
_REGAL;
}
欧拉筛欧拉值
/*
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*/
//#include inline pair, vector > DIV(T n){T nn = n;map cnt;vector div;for(ll i = 2; i * i <= nn; i ++){while(n % i == 0){if(!cnt[i]) div.push_back(i);cnt[i] ++;n /= i;}}if(n != 1){if(!cnt[n]) div.push_back(n);cnt[n] ++;n /= n;}return {cnt, div};}
const int maxn = 40010;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
int phi[maxn];
int cnt = 0;
int n;
inline void GET_PHI(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i ++){
if(!isprime[i]) prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j ++){
isprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0){
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
}
}
}
CHIVAS{
cin >> n;
GET_PHI();
int res = 0;
for(int i = 1; i < n; i ++) res += phi[i];
cout << (n == 1 ? 0 : (res << 1 | 1)) << endl;
_REGAL;
}