Matlab仿真产生复高斯白噪声，验证包络服从瑞利分布，包络平方服从指数分布

最近看之前做的一些信号仿真，有好多知识点忘了。还是把它们整理记录下来比较好，有助于以后回头再看。

复高斯白噪声的产生

$$z=a+bi$$
其中,$i$表示虚数单位,$a$和$b$表示方差相同零均值高斯分布随机变量，有：
$$a\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$
$$b\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$
此时该噪声功率为${\sigma }_z^2=2{\sigma }^2$
比如一个噪声功率${\sigma }_z^2=0.18$的复高斯白噪声，$\sigma =0.3$，matlab产生代码如下：

N=10000;%样本数量
power=0.18;%噪声功率
sigma=sqrt(power/2);%标准差
z = sigma.*(randn(N,1)+1i*randn(N,1));%产生复高斯白噪声

画个直方图看一下z的实部，虚部也类似：

长得挺像正态分布的，样本求标准差为0.3004，与预设值差不多。

复高斯白噪声的包络

复高斯白噪声的包络（模值）服从瑞利分布，参考百度百科，其概率密度函数如下：
$$f(x)=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}),x>0$$
均值（数学期望）：
$$E(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}\approx 1.253\sigma$$
方差：
$$D(X)=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2\approx 0.429{\sigma }^2$$

对$z$取模画个直方图看下：

样本均值0.3760（0.3759），样本方差0.0390（0.0386），括号内为按上述公式计算出来的均值方差，和预期很接近，说明样本服从瑞利分布。

复高斯白噪声的包络平方

复高斯白噪声的包络平方能够代表噪声的功率，服从指数分布，参考百度百科，概率密度函数如下：
$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}\lambda & e^{-\lambda x}& x>0\\ & 0& x\le 0\end{array}$$
累计分布函数：
$$F(x)=\{\begin{array}{rlr}1-& e^{-\lambda x}& x>0\\ & 0& x\le 0\end{array}$$
均值（数学期望）：
$$E(X)=\frac{1}{\lambda }$$
方差：
$$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

特别注意，此处指数分布参数$\lambda =\frac{1}{2{\sigma }^2}$，直方图如下所示：

样本均值0.1804（0.18），样本方差0.0328（0.0324）。
附代码：

N=100000;%样本数量
power=0.18;
sigma=sqrt(power/2);%标准差
z = sigma.*(randn(N,1)+1i*randn(N,1));%产生复高斯白噪声
histogram(real(z))
grid on
std(real(z))^2%样本方差

absz=abs(z);%取包络
mean(absz)%样本均值
std(absz)^2%样本方差
figure(2)
histogram(absz)
grid on

expz=absz.^2;%包络平方
mean(expz)%样本均值
std(expz)^2%样本方差
figure(3)
histogram(expz)
grid on

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