离散数学_数理逻辑篇（总结）

数理逻辑

命题逻辑

1.1 命题及其表示

• 表达判断并具有确定真值的陈述句为命题
• 不能分解为更简单命题的命题为原子命题。
• 由联结词、标点符号与原子命题为复合命题。
• 我们用大写字母A-Z，或[num]表示命题。
• 如果命题标识符表示的是一个确定的命题，则该命题为命题常量。
• 如果命题标识符表示的是任意命题的位置标志，则该命题为命题变元。

1.2 联结词

• 否定："-"，命题的否定。
• 合取：“pvq”，当p，q全为真时，"pvq"为真，否则为假。
• 析取：“pnq”，当p，q全为假时，"pnq"为假，否则为真。
• 条件：“p->q”，当p为真，q为假时，"p->q"为假，否则为真。
• 双条件：“p<->q”，当p，q全为真时，"p<->q"为真，否则为假

命题公式与翻译

• 命题公式没有真假值，仅当命题公式中的变元用明确的真值带入，才得到一个命题。
• 联结词运算优先级：-，n，v，->，<->。

• 重言式： 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永远为T，则该命题为重言式。

• 矛盾式：给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永远为F，则该命题为矛盾式。

• 蕴含式：当"p->q"为重言式，则称p蕴含q。

• 蕴含式的证明：指定p为真，若推出q为真，则p-蕴含q。或指定q为假，若推出p为假，则p蕴含q。

• 对偶：将命题公式中的"V"换成"n",“n"换成"V”，若有特殊变元F和T，则互换。

• 范式：

• 合取范式：形如A1nA2n…Ax的命题公式。
• 析取范式：形如A1VA2V…Ax的命题公式。

• 求析取（合取）范式的步骤：

• 1、将公式中的联结词化归成析取、合取、否定。
• 2、利用德~摩根律将否定符号提到各命题变元前面。
• 3、利用分配律、结合律将公式化归为析取或合取范式。

• 主析取范式：

• 1、n个命题变元的合取，称为布尔小项，n个命题变元的小项有2**n个。
• 2、任意两个小项的合取为假。
• 3、所有小项的析取为真。

• 主合取范式：

• 1、n个命题变元的析取，称为布尔大项，n个命题变元的大项有2**n个。
• 2、任意两个大项的析取为真。
• 3、所有大项的合取为假。

• 求解主合取（析取）范式的基本步骤：

• 1、化归为合取（析取）范式。
• 2、除去合取（析取）范式中的永真（永假）项。
• 3、将式子中的重复项合并起来。
• 4、析取项中没出现变元则添加（pn-p），合取项中没出现的变元则添加（pv-p）。

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推理理论

• 1、真值表法：将各命题变元的各种真值的情况以表的形式列举出来，若当结论的真值为假时，条件中至少有一个真值为假，或当条件真值均为真时，结论也为真，则推理成立。
• 2、直接推理：利用一组前提，大家公认的推理规则。根据已知的等价式、蕴含式，推演出有效的结论。
• 3、间接推理：假定结论为假，根据前提推理，若得出自相矛盾的结论。则也可以证明该推理有效。
• 4、c-p规则：若要证明s=>(r->p),可以先证明（snr）=>p.

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谓词逻辑

谓词的概念及表示：

• 刻画客体性质或关系的即是谓词。
• 我们用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称。
• 用谓词表达命题必须包括谓词与客体两个部分。
• 一元谓词通常表现客体的性质。
• 多元谓词通常表达多个客体之间的关系。

命题函数与量词：

命题函数

• 由一个谓词与一些客体变元组成的表达式为简单命题函数。
• 由多个简单命题函数与一些连接词组合成的表达式为复合命题函数。
• 特殊的：简单命题函数中，变元数量的多少代表谓词是几元的，当变元为0元谓词时，即该谓词就是一个命题。
• 客体变元的论述范围称为个体域。
• 个体域的综合叫做总个体域。

量词

• 全称量词：用来表达“对所有的”、“对任意的”、“每一个”等意思。
• 存在量词：用来表达“存在一些”、“至少有一个”、“对于一些”等意思。
• 一般而言，对于全称量词，此特征谓词常作为蕴含的前件，对于存在量词，此特征谓词常作为合取项。

变元的约束

在存在量词或全称量词后面的x叫做量词的指导变元或作用变元，P(x)叫做相应量词的作用域或者辖域。在作用域中x的一切出现，称为x在作用域的约束出现。除去约束变元以外的叫做自由变元。
简而言之，形如(量词)P(x)的x为约束变元，形如P(x)后的x为自由变元。

换名：

• 为了避免由于变元的约束与自由同时出现，引起概念上的混乱，故可以对约束变元换名。

换名的规则：

• 1、对于约束变元可以换名，其改变的命题变元的范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中出现的该变元，公式的其余变元不变。
• 2、换名时一定要更改为作用域中没有出现过的变元名称。

当然自由变元也可以换名。

重要的：量词对变元的约束，往往与量词的次序有关

谓词验算的等价式与蕴含式

命题验算中的等价公式和蕴含公式都可推广到谓词验算中来。

量词与否定连接词的关系：

• -(存在)P(x)等价于(全称)-P(x);
• -(全称)P(x)等价于(存在)-P(x);
• 出现在在量词前的否定，不是在否定该量词，而是否定该量词量化的命题。

量词作用域的扩张与收缩：

• 未完待续…