交叉熵损失函数（CrossEntropy Loss）（原理详解）

        监督学习主要分为两类：

1. 分类：目标变量是离散的，如判断一个西瓜是好瓜还是坏瓜，那么目标变量只能是1（好瓜）,0（坏瓜）
2. 回归：目标变量是连续的，如预测西瓜的含糖率（0.00~1.00）

        分类主要分为：

• 二分类：如判断一个西瓜是好瓜还是坏瓜
• 多分类：如判断一个西瓜的品种，如黑美人，特小凤，安农二号等

        而交叉熵损失函数是分类中最常用的损失函数，交叉熵是用来度量两个概率分布的差异性的，用来衡量模型学习到的分布和真实分布的差异。

二分类

        在二分类情况中，对于每一类别的预测只能是两个值，假设预测为好瓜（1）的概率为$P$，坏瓜（0）的概率为$1-P$：
        则，二分类交叉熵损失的一般形式为，其中y为标签：

这个式子怎么理解呢？

        预测为好瓜（1）的概率为$P$：$P(y=1|x)=P$，
        预测为坏瓜（0）的概率为$1-P$：$P(y=0|x)=1-P$
        则，$P(y|x)=P^y(1-P{)}^{1-y}$，当y为1时，$P(y|x)=P$，当y为0时，$P(y|x)=1-P$。

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交叉熵函数公式原理：

        学习一个东西，就要深入的了解他，否则一直停留在表面上，就无法进一步研究，这个交叉熵是如何得到的呢，如何理解他？
首先要理解下面几个概念：

1. 信息量
           信息量表示一条信息消除不确定性的程度，如中国目前的高铁技术世界第一，这个概率为1，这句话本身是确定的，没有消除任何不确定性。而中国的高铁技术将一直保持世界第一，这句话是个不确定事件，包含的信息量就比较大。信息量的大小和事件发生的概率成反比。
   

2. 信息熵
           信息熵则是在结果出来之前对可能产生的信息量的期望，期望可以理解为所有可能结果的概率乘以该对应的结果。
   
           信息熵是用来衡量事物不确定性的。信息熵越大（信息量越大，P越小），事物越具不确定性，事物越复杂。

3. 相对熵(即KL散度)
           相对熵又称互熵，设$p(x)$和$q(x)$是取值的两个概率分布，相对熵用来表示两个概率分布的差异，当两个随机分布相同时，它们的相对熵为零，当两个随机分布的差别增大时，它们的相对熵也会增大。：
   
   （可以这样想，对于一个二分类，p要么为0要么为1，由log图像知，p为0时值为0，为1时，q越接近1，$log\frac{p}{q}$越小，越接近于0）（这里的log底数为2）
   

4. 交叉熵
           将相对熵展开可以得到如下：
   
   
           由上式可知，相对熵=交叉熵-信息熵，H(p,q)就是交叉熵：

        由于在机器学习和深度学习中，样本和标签已知（即p已知），那么信息熵H（p）相当于常量，此时，只需拟合交叉熵，使交叉熵拟合为0即可。

多分类

        多分类和二分类类似，二分类标签为1和0，而多分类可以用one-hot编码来表示，即现在要预测西瓜品种，品种有黑美人，特小凤，安农二号，如果真实标签为特小凤即（0,1,0），预测标签为安龙二号即（0,0,1），将预测标签的各个概率带入即可，多分类的情况实际上就是对二分类的扩展：

        $y_{ik}$表示第 $i$个样本的真实标签为$k$ ，共有$K$个标签值 $N$个样本， $p_{i,k}$表示第 $i$个样本预测为第 $k$个标签值的概率。通过对该损失函数的拟合，也在一定程度上增大了类间距离。