【零基础】看懂理解傅里叶变换后的频谱图-附例题

首先安利一个网站，在线做傅里叶变换，不用等MATLAB漫长的启动了
https://sci2fig.herokuapp.com/fourier
文章中部分图片来自
https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82387854
理论部分参考了：
https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm
https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images

频谱图

声音的频谱图很好理解，尖峰代表着该频率有着更多的分量

关于数字信号处理的更多内容，这里安利我的学习笔记【持续更新中】：【从零开始学信号与系统】

但是图像的傅里叶变换抽象的多，下面讲讲述如何看懂傅里叶图。

类比

将图像视为变化的函数，不过不是随时间变化，而是跨图像的二维空间变化。
在灰度数字图像中，每个像素的值在0到255之间，代表该像素的暗度。因此，该像素的暗度或强度是水平坐标和垂直坐标的函数，给出了该像素的位置。您可以将图像视为起伏的景观，而高度由像素值确定。

图像也可以表示为正弦波的总和，但是这次，它们不是一维波，而是二维变化的波，就像纸张上的波纹。

二维正弦波写为

$z=sin（hx+ky）$

其中x和y给出“图纸”上各点的坐标，z是该点处波浪的高度或强度，a给出波浪的振幅（最大高度），h和k给出数字波分别在x和y方向重复的次数（它们是 x和y频率）。

当k = 0时，正弦波仅沿x轴波动。当h = 0时，它仅沿y轴波动。但是，如果k 和h都不为零，则正弦波在片材上对角移动，并且波的传播方向（垂直于波阵面）与斜率h / k成一定角度 。

图像的傅里叶变换原理

图像的傅立叶变换将图像（起伏的地形）分解为正弦波的总和。就像声波一样，对频率绘制傅立叶变换。但是与那种情况不同，频率空间具有二维，对于x和y维 中的波的频率 h和k。因此，它不是以一系列尖峰的形式绘制的，而是以与原始图像（大约）相同的像素尺寸绘制的图像。

位置信息

傅立叶变换中的每个像素都有一个坐标（h，k）表示在傅立叶变换中具有x频率h和 y频率k的正弦波的贡献。

• 中心点表示（0,0）波–没有波纹的平面–其强度（灰度颜色的亮度）是图像中像素的平均值。
• 中心左侧和右侧的点代表沿x轴变化的正弦波，即k = 0）。这些点的亮度表示傅立叶变换中具有该频率的正弦波的强度（强度是正弦波的振幅的平方）。
• 在中心点上下垂直的那些代表那些在y中变化但在x中保持恒定（即h = 0）的正弦波。傅立叶变换中的其他点表示对角波的贡献。
  
  例如，考虑上面的图像，在左侧。这是二维波sin（x）被视为灰度图像。它的旁边是此灰度图像的傅立叶变换。
• 它具有与原始像素相同的尺寸（像素），并且全黑
• 在中心处有一些明亮的像素
• 放大傅立叶变换的中心（您可以在上面在右侧看到），您会看到恰好有三个不是黑色的像素。
  • 一个是明亮的中心点，坐标为（0,0），代表（0,0）波对图像的贡献。
  • 两侧的明亮像素具有坐标（1,0）和反射（-1,0），表示（1,0）波（我们原始图像中的正弦波）的贡献。
  • 傅立叶变换中的所有其余像素都是黑色的，因为仅使用原始（1,0）波精确描述了原始图像。
    

图像高频低频含义

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

简短概括：

• 图像的高频，意味着灰度变化剧烈
• 图像的低频，意味着灰度变化平坦

不同频率信息在图像结构中有不同的作用：

• 图像的主要成分是低频信息，它形成了图像的基本灰度等级，对图像结构的决定作用较小；
• 中频信息决定了图像的基本结构，形成了图像的主要边缘结构；
• 高频信息形成了图像的边缘和细节，是在中频信息上对图像内容的进一步强化。

图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际是上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。

对图像的操作所造成的影响

在二维傅里叶变换中，空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上，而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向，反之亦然。说明见下图。

具体公式和理论应用

参考：https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm
由于我们只关注数字图像，因此我们将讨论仅限于离散傅立叶变换（DFT）。

DFT是采样的傅立叶变换，因此不包含构成图像的所有频率，而仅包含足够大以完全描述空间域图像的一组采样。频率的数量对应于空间域图像中的像素数量，即，空间域和傅立叶域中的图像具有相同的大小。

对于大小为N×N的正方形图像，二维DFT由下式给出：

其中f（a，b）是空间域中的图像，指数项是与傅立叶空间中每个点F（k，l）对应的基函数。该方程式可以解释为：通过将空间图像乘以相应的基函数并将结果相加得出每个点F（k，l）的值。

基本函数是频率增加的正弦和余弦波，即 F（0,0）表示图像的DC分量，该分量对应于平均亮度，F（N-1，N-1）表示最高频率。

以类似的方式，可以将傅立叶图像重新变换到空间域。傅里叶逆变换由下式给出：
【这里不太会翻译，看图吧】

原网站还有关于低通滤波等操作的详细知识，吃透了再补文。

常见的傅里叶变换结果

不同频率的正弦波：

MIT的摄影师：

练习题

判断上面两张傅里叶变换频谱图和下面两张原始图像如何对应？

解答

右下角的图片灰度变化更剧烈，由于图像的频率是灰度的梯度，且傅里叶变换后高频特征位于边缘，因此对应着亮点分布在更边缘地区的左上图：