数据结构（三）—— 树（2）：二叉树及存储结构

2. 二叉树及存储结构

2.1 二叉树的定义

  二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。
  二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。
  二叉树是n个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点 。

  二叉树T： 一个有穷的结点集合。
       $\diamond$ 这个集合可以为空。
       $\diamond$ 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树$T_L$和右子树$T_R$的两个不相交的二叉树组成。

  二叉树具体五种基本形态：

  二叉树的子树有左右顺序之分：

  特殊二叉树：

• 斜二叉树(Skewed Binary Tree)
  
• 完美二叉树(Perfect Binary Tree)
  满二叉树(Full Binary Tree)
  
• 完全二叉树(Complete Binary Tree)
    有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为$i(1⩽i⩽n)$的结点与满二叉树中编号为$i$的结点在二叉树中的位置相同。
    
    下图所示的二叉树不是完全二叉树，因为编号为4的结点的子结点只有一个，编号为9的结点与上图所示的二叉树中编号为9的结点位置不同。
  

2.2 二叉树几个重要性质

  $\bullet$ 一个二叉树第$i$层的最大结点数为：$2^{i-1}$，$i\ge 1$。
  $\bullet$ 深度为$k$的二叉树有最大结点总数为：$2^k-1$，$k>1$。
  $\bullet$ 对任何非空二叉树T，若$n_0$表示叶结点的个数、$n_2$是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系$n_0=n_2+1$。

  上图所示的二叉树中，$n_0=4$，$n_1=2$，$n_2=3$，$n_0=n_2+1=4$。

2.3 二叉树的抽象数据类型定义

  类型名称： 二叉树
  数据对象集： 一个有穷的结点集合
         若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成
  操作集： BT$\in$BinTree, Item$\in$ElementType，重要操作有：

1. Boolean lsEmpty(BinTree BT)：判别BT是否为空；
2. void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每个结点；
3. BinTree CreatBinTree()：创建一个二叉树。

  常用的遍历方法有：

1. void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序 —— 根、左子树、右子树；
2. void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序 —— 左子树、根、右子树；
3. void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序 —— 左子树、右子树、根；
4. void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历，从上到下、从左到右。

2.4 二叉树的存储结构

2.4.1 顺序存储结构

  完全二叉树： 按从上至下、从左到右顺序存储

   n个结点的完全二叉树的结点父子关系：
   $\star$ 非根结点(序号$i>1$)的父结点的序号是$i/2$；
   $\star$ 结点（序号为$i$)的左子结点的序号是$2i$，若$2i⩽n$，则没有左子结点；
   $\star$ 结点（序号为$i$ )的右子结点的序号是$2i+1$，若$2i+1⩽n$，则没有右子结点。

  一般二叉树也可以采用如下图所示的这种结构，但会造成空间浪费。

2.4.2 链表存储结构

  二叉树的链表存储数据结构定义如下所示。

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;  //二叉树类型
struct TreeNode{
       //树结点定义
    ElementType Data;  //结点数据
    BinTree Left;  //指向左子树
    BinTree Right;  //指向右子树
}    

  如下图左边所示的二叉树，链表存储结构如右边所示。