Python3 趣味系列题14----分形

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分形（Fractal）一词，是由美国数学家曼德勃罗先生（Mandelbrot）创造出来的。分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点，一切复杂的对象虽然看似杂乱无章，但他们具有相似性。简单地说，就是把复杂对象的某个局部进行放大，其形态和复杂程度与整体相似。

本文给出基于复动力系统，例如Mandelbrot集、Julia集；基于迭代函数系统，例如科赫雪花、谢尔宾斯基三角形。

一、基于复动力系统

因为复数可以用平面直角坐标系上的点来表示。横坐标轴表示复数的实数部分，纵坐标轴表示复数的虚数部分，则复数 A+Bi就对应了平面上的点 (A, B)，其中复数A+Bi的模就是A^2 + B^2 的算数平方根。这个平面直角坐标系也就成为了复平面。

• Julia集

所谓Julia集就是复平面上的点经过如下形式：

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的无数次迭代得到的复数的模不大于2的点构成的集合。其中Z代表复平面上的点，C是任意的复数。对于不同的C值，不同的迭代次数，所得到的图像是不同的。下面给出几种不同的C值对应的图像。之所以限定模值为2，是因为随着迭代次数的增大，模大于2的点肯定会发散。为了图片的美观，根据不同的模值定义不同的颜色。

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• Mandelbrot集

生成Mandelbrot集和Julia集的原理是类似的，唯一的不同在于，迭代的表达式变为：

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其中Z0表示复平面上的每个点。计算Mandelbrot集，也就是记录每个点在迭代过程中得到的复数的模值大于2时的迭代次数，然后根据迭代次数进行绘图，不同的迭代次数用不同的颜色表示，即可绘制出图。

在Julia集中，C值是任意给定的复平面上的一点，对于所有复平面上的点Z而言，都是一样的。而Mandelbrot集中C就是该点Z，对于所有复平面上的点Z而言，都是不一样的。Julia集每个图形表示的是一个C值，而C值肯定是Z0值中的一个。因此Mandelbrot集是Julia集的高度概括，也就是任意一个C值对应的Julia图形，肯定可以在Mandelbrot集的图形中找到与其对应的图像。下面给出Mandelbrot集的图像：

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下面给出

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时的Mandelbrot集的图像：

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下面给出次数为2时的Mandelbrot集局部放大时的图像：

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二、基于迭代函数

基于迭代函数就是根据一定的规则，迭代生成分形图像。下面以谢尔宾斯基三角形和科赫雪花为例：

• 谢尔宾斯基三角形

由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。

迭代规则：

1，取一个底色为黑色的三角形，一般为等边三角形；
2，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；
3，将中间的那一个小三角形底色变为白色；
4，对其余三个小三角形重复步骤2，3；
5，重复以上步骤；

图示：

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除了迭代法之外，也可以利用随机的方法获得。

随机方法规则：

1，在平面上选取3个点，并标出，为了美观，这3个点可以为等边三角形的顶点；
2，在平面上任意选取一个点作为第4个点，作为候选点，在平面上标出；
3，在数字1，2，3中随机选择一个数字。数字1，2，3的分别点1，2，3对应；
4，选中的点和当前候选点的中点作为新的候选点，并在平面上标出；
5，重复步骤3，4；

图示：

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• 科赫雪花曲线

最早出现在海里格·冯·科赫1904年的论文中。

规则：

1，对于一个等边三角形，把每一边都三等分；
2，将每个边的中间一段，向外旋转60度，作为等边三角形的一边，绘制出等边三角形；
3，将中间的这一段去掉；
4，重复上述步骤；

图示：

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