2020-03-07

1. 算法的时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是时间规模n的某个函数。

用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法

2. 推导大O阶方法

1. 用常用1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

自己总结一下：保留最高阶，忽略系数，忽略常数，忽略底数，如果只有常数记为1

①常数阶

int sum = 0, n = 100;
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
sum = (1+n)*n/2;

上面代码段总执行次数为8，根据推导大O阶方法，将常数用1取代，记作O(1)

②线性阶

一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。

public void test2(int n){
    for(int i = 0; i < n; i++){   //执行 （n+1） 次
        System.out.println(i);  //执行 n 次
    }
}

这个方法需要执行(n + 1 + n) = 2n + 1 次运算；

时间复杂度为O(n)

③平方阶

for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=0; j < n; j++ )
    {
        printf(“I love FishC.com\n”);
    }
}

执行次数： n + n + n*n = 2n + n²

时间复杂度记作： O(n²)

④对数阶

while( i < n )
{
    i = i * 2;
}

假设代码执行x次，那么2^x = n，x = log₂n

时间复杂度记作：O(log n)

3.排序

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

4.最坏情况与平均情况

我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置，那么时间复杂度为O(n)。
平均运行时间是期望的运行时间。
最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

5.算法的空间复杂度

我们在写代码时，完全可以用空间来换去时间。
举个例子说，要判断某年是不是闰年，你可能会花一点心思来写一个算法，每给一个年份，就可以通过这个算法计算得到是否闰年的结果。
另外一种方法是，事先建立一个有2050个元素的数组，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，则此数组元素的值是1，如果不是元素的值则为0。这样，所谓的判断某一年是否为闰年就变成了查找这个数组某一个元素的值的问题。

第一种方法相比起第二种来说很明显非常节省空间，但每一次查询都需要经过一系列的计算才能知道是否为闰年。第二种方法虽然需要在内存里存储2050个元素的数组，但是每次查询只需要一次索引判断即可。

这就是通过一笔空间上的开销来换取计算时间开销的小技巧。到底哪一种方法好？其实还是要看你用在什么地方。

6. 算法的空间复杂度定义

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数，也是一种“渐进表示法”，这些所需要的内存空间通常分为“固定空间内存”（包括基本程序代码、常数、变量等）和“变动空间内存”（随程序运行时而改变大小的使用空间）

通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。

当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。

参考文档

1. CSDN博客：算法的时间复杂度和空间复杂度计算
2. 知乎上慕课网的文章：《一文说懂算法时间空间复杂度分析》