算法与数据结构——排序（五）希尔排序

      前面说的直接插入排序，在某些情况下，它的效率是很高的，比如当要排序的序列很少的时候，或者排序的序列基本有序的时候。当然在现实中，要排序的序列基本上不可能满足这样的条件，如果碰到有非常多数的大序列需要排序，而且这些序列中的数也不是基本有序的，那我们该怎么办，这时候，如果还是使用直接插入排序，那么效率就非常低，很多人会想到，能不能把直接插入排序进行改进呢，你不是说对小序列效率比较高吗，那就把一个大的序列拆分成几个小序列，然后对它们分别进行排序。希尔排序就是这样一种改进的排序算法，它就是把一个大序列拆分成几个小的序列，然后对小的序列进行直接插入排序，最后合并在一起，那么这个大序列就变成基本有序了，这时候，再对整个基本有序的大序列进行一次直接插入排序，整个大序列就变成有序的了。

      比如我们现在有一个序列{9，1，5，8，3，7，4，6，2}，把它拆分成几个小的序列，可能有的人立即就想到拆分成{9，1，5}，{8，3，7}，{4，6，2}，然后进行排序，排序后变成{1，5，9}，{3，7，8}，{2，4，6}，合并在一起，进行直接插入排序，他们发现整个序列还是乱的，跟对原始数列直接进行插入排序没什么两样。这时因为，合并后的序列并没有满足“基本有序”这个条件。所谓基本有序，就是小的关键字在前面，大的关键字在后面，不大不小的在中间。上面的合并起来9跑到第三位去了，所以根本不能算基本有序。这时候，大家就会问了，那么怎样使整个序列是基本有序的呢。还是要把大序列进行拆分，只不过不是像上面的那样拆分，而是采用跳跃的形式进行拆分。也就是所相距某个增量的数字组成一个序列，再对这些序列进行排序，最后合并在一起，就变成基本有序了。

     看下面的示意图（相同颜色的为一组）：

     第一次，我们取增量为3，那么整个序列分成了三组分别是{9，8，4}，{1，3，6}，{5，7，2}，我们对这三个小序列分别进行插入排序，排序后合并得到的序列就是{4，1，2，8，3，5，9，6，7}，它已经可以算基本有序，为了使它进一步基本有序，我们重新取一次分量，再来拆分一次；

    第二次，我们取增量为2，那个整个序列被分成了两组，分别是{4，2，3，9，7}，{1，8，5，6}，我们再对这两个序列来进行直接插入排序，把排序好的合并到一起，最终的序列就是{2，1，3，5，4，6，7，8，9}，这个时候，整个序列已经基本有序了。最后我们要取增量为1，再进行一次拆分。

    第三次，我们取增量为1，有人会问取增量为1，不就没有没有拆分吗，是的，使用希尔排序，最后一次拆分时，增量一定要是1，也就是不管怎样拆分，最后一次一定是对整个序列进行一次直接插入排序。

     有人会问，那为什么不一开始就用直接插入排序呢，我们在前面说过，直接插入排序在数据量少或者序列基本有序的情况下，效率比较高。如果一开始就进行直接插入排序，此时整个序列不是基本有效的，而且遇到数据量大时，效率也不高。而上面介绍的希尔排序，就是先进行拆分，对拆分后的小序列进行基本插入排序，在最后一次进行直接插入排序的时候，整个大的序列已经基本有序了。所以最后一次直接插入排序的效率应该是很高的。下面看具体的代码：

public List<int> SortByShell(List<int> sortList)

       {

           int incrementNum = sortList.Count / 3 + 1;//初始化的增量是数组长度除以3然后加上1

           bool isEnd = false;

           while (true)

           {

               for (int i = incrementNum; i <sortList.Count; i++)//在某个增量下，对拆分后的每个小序列进行排序

               {

                   if (sortList[i] < sortList[i - incrementNum])//对每个小序列进行直接插入排序

                   {

                       int j;

                       int temp = sortList[i];

                       for ( j= i - incrementNum; j >=0&&temp< sortList[j]; j -= incrementNum)

                       {

                           sortList[j + incrementNum] = sortList[j];

                       }

                       sortList[j + incrementNum] = temp;

                   }

               }

               if (isEnd)

               {

                   break;

               }

               incrementNum = incrementNum / 3 + 1;

               if (incrementNum == 1)

               {

                   isEnd = true;

               }

           }

           return sortList;

       }

     通过上面，我们可以看出，希尔排序的关键是将相隔某个增量的数组成一个序列，进行直接插入排序，最以此来提高排序的效率。那么如何选取这个增量，是一个比较关键的问题，在上面的代码中，取的是数组长度除3然后再加上1。如何选取增量一直都没有什么好的办法，不过经过大量的研究，有一些取增量的经验，在网上可以找到相关的资料。不过不管增量如何取值，有一点是固定的，就是增量的最后一个值一定要是1，这样才能保证整个序列最后是有序的。经过证明，当取一个合理的增量时，希尔排序的时间复杂度为O(n ^3/2),要好于直接排序的O(n ²)。