[Combinatorial] 2 小乒乓球的组合之旅

2 小乒乓球的组合之旅

2-1 加减乘除来计数计数的基本法则
- 1.1 加法法则与乘法法则
  - 加法法则: 分类
  - 乘法法则: 分步
- – 事件独立性，隐含条件
2-2 点兵点将排列组合定义
- 乒乓球放盒子
  - 编号的乒乓球：
    - – 4个乒乓球：1号，2号，3号，4号
    - – 取出其中的3个
    - –如果考虑顺序，则称之为排列数 P(4,3) • P(4,3)=4×3×2 = 24
    - –如果不考虑顺序，则称之为组合数 C(4,3) • C(4,3)=24/3！=4
- 排列和组合
  - [排列 Permutation]从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。 (n ≥ r)
  - [组合 Combination]从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 (n ≥ r) 组合的个数用C(n,r)表示
- 排列的模型
  - 从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒1个。(n ≥ r)
  - 排列P(n, r)的递推关系
    - 分步递推
      - – 选No.1盒子内的乒乓球
      - • n种选择
      - – 从n-1个球中选出r-1个放入r-1个盒子内的排列
      - • P(n-1,r-1)
    - 分类递推
      - – 不选第一个球？
      - • P(n-1,r)
      - – 选择第一个球？
      - • rP(n-1,r-1)
- 组合的模型
  - 若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。
  - C(n,r)=C(n,n-r)，n个乒乓球中选出r个的方法自然等于剩下n-r个的方法。
  - 格路模型：
  - 从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位，最终走到(m,n)点，其路径数是C(m+n,n).
- 二项式定理
- 组合恒等式 Combinatorial Indentities
  - C(n, r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)
  - C(m+n, r)=C(m,0)C(n, r)+C(m, 1)C(n,r-1)+ …+C(m, r)C(n, 0)，即Vandermonde恒等式
- 乒乓球来证明恒等式
2-3 小乒乓球的大花样
- 圆排列
  - 将圆排列剪开：从n个中取r个的圆排列的排列数为 P(n,r)/r , 2≤r≤n
- 项链排列
  - 排列的方法和项链一样,在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各个数是同一个排列
  - 从n个中取r个的项链排列的排列数为 P(n, r)/2r, 3≤r≤n
- 可重排列
  - 例 26个英文字母能组成多少4位数的字符串？ 26^4
  - 例 26个英文字母能组成多少4位数的字符串，其中每位字母都不相同？ P(26,4)
  - 例 26个英文字母能组成多少4位数的字符串，其中每位字母都不相同且b和d不相邻？ P(26,4) –C(24,2)3!2
    - 减去bd相邻的情况：C(24,2)取出两个字母，3!全排，2为bd和db两种情况
- 多重全排列
  - 多重排列：
    - 请问“pingpang”8个字母有多少种不同的排列？
    - –2个p, 2个n，2个g，1个i，1个a
  - 解决思路：
    - 加上下标以区别 p1 p2 n1 n2 g1 g2 i a
    - 全排列后除以每种重复字母的冗余度：8!/(2!2!2!)
  - 给出多重排列的定义：
    - 求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数，设r1+r2+…+rt =n, 设此排列数为P(n;r1 ,r2 ,…,rt )
    - P(n;r1 ,r2 ,…,rt )= n!/(r1 !·r2 !·…·rt!)
- 多项式展开
  - 利用上面的定义
- 例乒乓球入洞游戏：
  - 共有6个洞，洞口每次只能进入一个乒乓球，一组编号为1-9的9个乒乓球滚入洞口的方案有多少？（洞很小，是个栈，有顺序）
  - 隔板法
    - [解法1]给每个方案的门标号可产生5!个14 个元的全排列。故若设x为所求方案数，则 x·5!=14! ∴x=14!/5!=726485760
    - [解法2]在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择，再确定球的位置，有9！种选择。故 C(14,5)·9! 即所求
    - [解法3]把全部选择分解成若干步，使每步宜于计算。 •1号有6种选择； •2号除可有1号的所有选择外，还可（也必须）选择当与1号同一门时在1号的前面还是后面，故2号有7种选择； •3号的选择方法同2号，故共有8种 • 。。。。 •以此类推，9号有14种选择。故所求方案为 678….14 =14!/5!=726485760
2-4 多样的组合
- 可重组合：
  - 从A={1,2,3….n}中取r个元素{a1 ,a2 ,…ar },ai∈A ，i=1,2,..r,且允许ai =aj , i≠j，记为Cbar(n,r)。
  - A={1,2,3,4}中取5个元素构成组合，元素可以重复
  - 可重组合模型：取r个无标志的球，n个有区别的盒子，每个盒子允许放多于一个球，或者空盒。
  - 无重组合的模型：n个球是有区别的，r个盒子是无区别的，取r个球放入盒子，每个盒子一个球。
  - 求解方法：构造相关的无重组合
    - 一一对应的方法
      - 我们可以按照盒子的序号1-n ，盒子里有几个球，这个序号就写几次，那么上面的方案就可以表示为
      - 1 1 3 3 4
      - 共有5个数字，我们把它分别加上序号 0 1 2 3 4 就成了
      - 1 2 5 6 8
      - （这样加起来元素值一定是不一样的）
      - 最后的这个序列，我们可以看到第一个数字最小是1，最后一个数字最大是5+4=9
      - 每一种方案都可以一一对应一个1-9中选出5个数字的无重组合。
    - 我们再来看一下普遍的情况：
      - r个无区别的球，n个有区别的盒子
      - 按照盒子编号1-n，有几个球写几次可以写出一个r个数字的序列。分别加上0 1 2 …… r-1
      - 结果第一个数字最小是1+0 最大是n+r-1 ，无重组合的个数就是从1到n+r-1中选出r个不重复的数字。
      - 因此，无重组合的公式为：r个无区别的球，n个有区别的盒子共有 C(n+r-1,r) 种。
    - 隔板法：转为门框分割的问题
      - 可以转化为 r个球，插入n-1个隔板。一共有r+n-1个位置，从中选出r个位置放球。得到结果C(n+r-1,r)
        
        比如说这里A={1,2,3,4}中取5个元素构成组合，就是5个球，3个隔板（分隔出四个区域）
        
        这样就会有5+3个位置，从中选3个隔板放好，搞定
        
        （选隔板和选球放好得到的结果是一样的c(n,r)=c(n,n-r)）
      - 感觉隔板法比较方便理解和记忆
- 线性方程的非负整数解
  - 线性方程x1+x2…+xn=b的非负整数解的个数是C(n+b-1,b)
  - 这相当于b个无区别的球，n个有区别的盒子（x1到xn）
- 不相邻组合
  - 不相邻的组合是指从A={1,2,…n}中取r个不相邻的数进行组合(不可重)，即不存在相邻的两个数j, j+1的组合
  - 从A={1,2,…n}中取r个不相邻的数进行组合，其组合数为C(n-r+1,r)
  - 可以采用和无重组合类似的一一对应的方法：不同的是这里减去序号0 1 2 3……因为不相邻，所以减去后也是不可能相同的。
- 应用举例
  - 例某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有７人，每人持若干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问
    - ①至少有多少把不同的锁？
    - ②每人至少持几把钥匙？
  - 解
    - ①每３人至少缺１把钥匙，任意4个人都不缺钥匙，则要求每３人所缺钥匙不同。
    - 如果abc缺的钥匙和abd缺的钥匙一样，那abcd就不能开门
    - 故至少共有C(7,3)=35把不同的锁。
    - ②任意4个人都不缺钥匙，任一人对于其他６人中的每３人，都至少有１把钥匙与之相配才能开锁。故每人至少持C(6,3) ＝20把不同的钥匙。
    - 为加深理解，举一个较简单的例子:４人中３人到场，才能开锁，所求如上。共有C(4,2)=6把不同的钥匙。每人有C(3,2)=3 把钥匙。
2-5 钟声里的全排列
- 全排列
- 把所有的排列列举出来就可以生成全排列。全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
- 字典序法生成全排列
- 按照字典中的顺序。可以参考英文字典。
- 字典中，每个排列有唯一的前驱和后继，相邻排列之间差尽可能的小。
- 算法实现
- SJT全排列生成算法
- 1. 找到最大的可移动数m(当一个数指向一个比它小的数是，该数就是可移动数)
- 1. 交换m和m所指向的数
- 1. 改变所有比m大的数的方向
- 1. 重复上面的步骤，直至找不到可移动数
- 库函数中的全排列生成函数
- C++标准程序库中有两个函数next_permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列。
- Stirling公式
- 全排列的个数可能超出我们的想象。10个字符的全排列有10! = 3628800种。20个字符的全排列有2432902008000000000种。
- Stirling公式可以用来估计n！的大小。n越大，估计越精确。

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