数据结构—拓扑排序

拓扑排序指的是将有向无环图（又称“DAG”图）中的顶点按照图中指定的先后顺序进行排序。

图 1 有向无环图.png

例如，图 1 中的两个图都是有向无环图，都可以使用拓扑排序对图中的顶点进行排序，两个图形的区别是：左图中的 V2 和 V3 之间没有明确的前后顺序；而右图中任意两个顶点之间都有前后顺序。

所以，左图中顶点之间的关系被称为“偏序”关系；右图中顶点之间的关系被称为”全序“关系。

在有向无环图中，弧的方向代表着顶点之间的先后次序，例如从 V1 指向 V2 的弧表示在进行排序时 V1 在前， V2 在后。

全序是偏序的一种特殊情况。对于任意一个有向无环图来说，通过拓扑排序得到的序列首先一定是偏序，如果任意两个顶点都具有前后顺序，那么此序列是全序。

拓扑排序的方法

对有向无环图进行拓扑排序，只需要遵循两个原则：
1.在图中选择一个没有前驱的顶点 V；
2.从图中删除顶点 V 和所有以该顶点为尾的弧。

例如，在对图 1 中的左图进行拓扑排序时的步骤如图 2 所示：

图 2 拓扑排序.png

有向无环图如果顶点本身具有某种实际意义，例如用有向无环图表示大学期间所学习的全部课程，每个顶点都表示一门课程，有向边表示课程学习的先后次序，例如要先学《程序设计基础》和《离散数学》，然后才能学习《数据结构》。所以用来表示某种活动间的优先关系的有向图简称为“AOV网”。

进行拓扑排序时，首先找到没有前驱的顶点 V1，如图 2（1）所示；在删除顶点 V1 及以 V1 作为起点的弧后，继续查找没有前驱的顶点，此时， V2 和 V3 都符合条件，可以随机选择一个，例如图 2（2） 所示，选择 V2 ，然后继续重复以上的操作，直至最后找不到没有前驱的顶点。

所以，针对图 2 来说，拓扑排序最后得到的序列有两种：

• V1 -> V2 -> V3 -> V4
• V1 -> V3 -> V2 -> V4

如果顶点之间只是具有偏序关系，那么拓扑排序的结果肯定不唯一；如果顶点之间是全序关系，那么拓扑排序得到的序列唯一。

拓扑排序的C语言实现

在编写程序解决拓扑排序的问题时，大致思路为：首先通过邻接表将 AOV 网进行存储，由于拓扑排序的整个过程中，都是以顶点的入度为依据进行排序，所以需要根据建立的邻接表统计出各顶点的入度。

在得到各顶点的入度后，首先找到入度为 0 的顶点作为拓扑排序的起始点，然后查找以该顶点为起始点的所有顶点，如果入度为 1，说明如果删除前一个顶点后，该顶点的入度为 0，为拓扑排序的下一个对象。

实现代码：

#include 

typedef enum{false,true} bool;
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标
    struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接点的指针
}ArcNode;


typedef struct VNode{
    int data;//顶点的数据域
    ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针
}VNode,AdjList[20];//存储各链表头结点的数组


typedef struct {
    AdjList vertices;//图中顶点及各邻接点数组
    int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数和边或弧数
}ALGraph;
//找到顶点对应在邻接表数组中的位置下标
int LocateVex(ALGraph G,int u){
    int i;
    for(i=0; ivexnum),&((*G)->arcnum));


    int i;
    for(i=0; i<(*G)->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&((*G)->vertices[i].data));
        (*G)->vertices[i].firstarc=NULL;
    }
    int initial,end;
    for (i=0; i<(*G)->arcnum; i++) {
        scanf("%d,%d",&initial,&end);


        ArcNode *p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
        p->adjvex=LocateVex(*(*G), end);
        p->nextarc=NULL;


        int locate=LocateVex(*(*G), initial);
        p->nextarc=(*G)->vertices[locate].firstarc;
        (*G)->vertices[locate].firstarc=p;
    }
}
//结构体定义栈结构
typedef struct stack{
    int data;
    struct stack * next;
}stack;
//初始化栈结构
void initStack(stack* *S){
    (*S)=(stack*)malloc(sizeof(stack));
    (*S)->next=NULL;
}
//判断链表是否为空
bool StackEmpty(stack S){
    if (S.next==NULL) {
        return true;
    }
    return false;
}
//进栈，以头插法将新结点插入到链表中
void push(stack *S,int u){
    stack *p=(stack*)malloc(sizeof(stack));
    p->data=u;
    p->next=NULL;
    p->next=S->next;
    S->next=p;
}
//弹栈函数，删除链表首元结点的同时，释放该空间，并将该结点中的数据域通过地址传值给变量i;
void pop(stack *S,int *i){
    stack *p=S->next;
    *i=p->data;
    S->next=S->next->next;
    free(p);
}
//统计各顶点的入度
void FindInDegree(ALGraph G,int indegree[]){
    int i;
    //初始化数组，默认初始值全部为0
    for (i=0; iadjvex]++;
            p=p->nextarc;
        }
    }
}
void TopologicalSort(ALGraph G){
    int indegree[G.vexnum];//创建记录各顶点入度的数组
    FindInDegree(G,indegree);//统计各顶点的入度
    //建立栈结构，程序中使用的是链表
    stack *S;
    initStack(&S);


    int i;
    //查找度为0的顶点，作为起始点
    for (i=0; inextarc) {
            int k=p->adjvex;
            if (!(--indegree[k])) {
                //顶点入度为0，入栈
                push(S, k);
            }
        }
    }
    //如果count值小于顶点数量，表明该有向图有环
    if (count

例如使用上述完整代码解决下图的有向无环图时，拓扑排序的结果为：

image.png

image.png