第二课 欧几里德算法与扩展欧几里德算法

 

耐心的看下去终究会懂的。

♦ 我们规定gcd(a,0)=a

♦ 欧几里德算法中需要明确的是，gcd(a,b) = gcd(b,r)

证明：设x=gcd(a,b)，那么b能整除以x（即b/x没有余数，觉得"整除以"比"整除"更直观，下同）。

∵a=bq+r

∴r=a-bq

∴r能整除以x

∴x为b,r的公约数（没有证明是最大）

假设y为gcd(b,r)，所以x≤y（y是最大的约数！）

显然，b能整除以y

∵a=bq+r

∴a能整除以y.

∴y是a,b的约数

∴y≤x

∴x=y=gcd(b,r)

∴gcd(a,b) = gcd(b,r)

求两个数的最大公约数——辗转相除法（欧几里德算法）

 1 int gcd(int a, int b)

 2 {

 3     if(a < b) swap(a,b);    

 4     

 5     int r = a%b;    

 6     

 7     while (r)

 8     {

 9         a = b;

10         b = r;

11         r = a%b;

12     }

13 

14     return b;

15 }

 

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给定a,b,c，求满足ax+by=gcd(a,b)的整数解(x,y)——扩展欧几里德算法

 

 1 int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)

 2 {

 3     if (a < b) swap(a,b);

 4     

 5     if (b == 0)

 6     {

 7         x = 1, y = 0;

 8         return a;

 9     }

10     

11     int p,q;

12      

13     int ans = gcd(b, a%b, p, q);

14     

15     x = q;

16 

17     y = p - a/b*q;

18     

19     return ans;

20 }

 

 

♦ 假设给定a,b. 那么我们知道a,b的最大公约数必定可以表示成a,b的线性组合,ax+by=gcd(a,b),问题是x,y是多少呢？ 

证明：已知a%b=r,gcd(a,b)=ax+by(x,y未知)

∵gcd(a,b)=gcd(b,r)

∴gcd(b,r) = bp+rq = bp+(a%b)q = bp+(a-a/b*b)q = aq+b(p-a/b*q)

即ax+by = gcd(a,b) = aq+b(p-a/b*q)

解得x=q, y=p-a/b*q;

ok,到这里为止,我们得到ax+by=gcd(a,b)的一组解, x和y。

♦ 那么不失一般性，给定a,b,c，ax+by=c的解又怎么求呢？

思路：等式两边同时乘以gcd(a,b)/c

假设ax+by=gcd(a,b)的解为x0,y0.则x=x0*c/gcd(a,b),y=y0*c/gcd(a,b)