☀️光天化日学C语言☀️（24）- 浮点数的存储 | 天才般的设计，反正我这么认为

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一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章的主要内容是浮点数的存储。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、浮点数简介

1、数学中的小数

• 数学中的小数分为整数部分和小数部分，它们由点号.分隔，我们将它称为 十进制表示。例如 $0.0$、$1314.520$、$-1.234$、$0.0001$ 等都是合法的小数，这是最常见的小数形式。
• 小数也可以采用 指数表示，例如 $1.23.\times 10^2$、$0.0123\times 10^5$、$1.314\times 10^{-2}$ 等。

2、C语言中的小数

• 在 C语言 中的小数，我们称为浮点数。
• 其中，十进制表示相同，而指数表示，则略有不同。
• 对于数学中的 $a\times 10^n$。在C语言中的指数表示如下：

aEn 或者 aen

• 其中 $a$ 为尾数部分，是一个十进制数；$n$ 为指数部分，是一个十进制整数；$E$、$e$ 是固定的字符，用于分割 尾数部分 和 指数部分。

数学	C语言
$1.5$	$1.5E1$
$1990$	$1.99e3$
$-0.054$	$-0.54e-1$

3、浮点数类型

• 常用浮点数有两种类型，分别是float和double；
• float称为单精度浮点型，占 4 个字节；double称为双精度浮点型，占 8 个字节。

4、浮点数的输出

• 我们可以用printf对浮点数进行格式化输出，如下表格所示：

控制符	浮点类型	表示形式
%f	float	十进制表示
%e	float	指数表示,输出结果中的 e小写
%E	float	指数表示,输出结果中的 E大写
%lf	double	十进制表示
%le	double	指数表示,输出结果中的e小写
%lE	double	指数表示,输出结果中的E大写

• 来看一段代码加深理解：

#include 

int main() {
     
    float f = 520.1314f;
    double d = 520.1314;
    
    printf("%f\n", f);
    printf("%e\n", f);
    printf("%E\n", f);
    
    printf("%lf\n", d);
    printf("%le\n", d);
    printf("%lE\n", d);
    return 0;
}

• 这段代码的输出如下：

520.131409
5.201314e+02
5.201314E+02
520.131400
5.201314e+02
5.201314E+02

• 1）%f和 %lf默认保留六位小数，不足六位以 0 补齐，超过六位按四舍五入截断。
• 2）以指数形式输出浮点数时，输出结果为科学计数法。也就是说，尾数部分的取值为：
• $$0\le 尾数<10$$
• 3）以上六个输出，对应的是表格中的六种输出方式，但是我们发现第一种输出方式中，并不是我们期望的结果，这是由于这个数超出了float能够表示的范围，从而产生了精度误差，而double的范围更大一些，所以就能正确表示，所以平时编码过程中，如果对效率要求较高，对精度要求较低，可以采用float；反之，对效率要求一般，但是对精度要求较高，则需要采用double。

四、浮点数的存储

1、科学计数法

• C语言中，浮点数在内存中是以科学计数法进行存储的，科学计数法是一种指数表示，数学中常见的科学计数法是基于十进制的，例如 $5.2\times 10^{11}$；计算机中的科学计数法可以基于其它进制，例如 $1.11\times 2^7$ 就是基于二进制的，它等价于 $(11100000{)}_2$。
• 科学计数法的一般形式如下：
• $$value=(-1{)}^{sign}\times fraction\times bas{e}^{exponent}$$

  $value$：代表要表示的浮点数；
  $sign$：代表 $value$ 的正负号，它的取值只能是 0 或 1：取值为 0 是正数，取值为 1 是负数；
  $base$：代表基数，或者说进制，它的取值大于等于 2；
  $fraction$：代表尾数，或者说精度，是 $base$ 进制的小数，并且 $1\le fraction<base$，这意味着，小数点前面只能有一位数字；
  $exponent$：代表指数，是一个整数，可正可负，并且为了直观一般采用 十进制 表示。

1）十进制的科学计数法

• 以 $14.375$ 这个小数为例，根据初中学过的知识，想要把它转换成科学计数法，只要移动小数点的位置。如果小数点左移一位，则指数 $exponent$ 加一；如果小数点右移一位，则指数 $exponent$ 减一；
• 所以它在十进制下的科学计数法，根据上述公式，计算结果为：
• $$(14.375{)}_{10}=1.4375\times 10^1$$
• 其中 $value=14.375$、$sign=0$、$base=10$、$fraction=1.4375$、$exponent=1$；
• 这是我们数学中最常见的科学计数法。

2）二进制的科学计数法

• 同样以 $14.375$ 这个小数为例，我们将它转换成二进制，按照两部分进行转换：整数部分和小数部分。
• 整数部分：整数部分等于 14，不断除 2 取余数，转换成 2 的幂的求和如下：
• $$(14{)}_{10}=1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0$$
• 所以 14 的二进制表示为 $(1110{)}_2$。
• 小数部分：小数部分等于 0.375，不断乘 2 取整数部分的值，转换成 2 的幂的求和如下：
• $$(0.375{)}_{10}=0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$$
• 所以 0.375 的二进制表示为 $(0.011{)}_2$
• 将 整数部分 和 小数部分 相加，得到的就是它的二进制表示：
• $$(1110.011{)}_2$$
• 同样，我们参考十进制科学计数法的表示方式，通过移动小数点的位置，将它表示成二进制的科学计数法，对于这个数，我们需要将它的小数点左移三位。得到：
• $$(1110.011{)}_2=(1.110011{)}_2\times 2^3$$
• 其中 $value=14.375$、$sign=0$、$base=2$、$fraction=(1.110011{)}_2$、$exponent=3$；
• 我们发现，为了表示成科学计数法，小数点的位置发生了浮动，这就是浮点数的由来。

2、浮点数存储概述

• 计算机中的浮点数表示都是采用二进制的。上面的科学计数法公式中，除了 $base$ 确定是 2 以外，符号位 $sign$、尾数位 $fraction$、指数位 $exponent$ 都是未知数，都需要在内存中体现出来。还是以 $14.375$ 为例，我们来看下它的几个关键数值的存储。

1）符号的存储

• 符号位的存储类似存储整型一样，单独分配出一个比特位来，用 0 表示正数，1 表示负数。对于 $14.375$，符号位的值是 0。

2）尾数的存储

• 根据科学计数法的定义，尾数部分的取值范围为 $$1\le fraction<2$$
• 这代表尾数的整数部分一定为 1，是一个恒定的值，这样就无需在内存中提现出来，可以将其直接截掉，只要把小数点后面的二进制数字放入内存中即可，这个设计可真是省（扣）啊。
• 对于 $(1.110011{)}_2$，就是把110011放入内存。我们将内存中存储的尾数命名为 $f$，真正的尾数命名为 $fraction$，则么它们之间的关系为： $$fraction=1.f$$
• 这时候，我们就可以发现，如果 $base$ 采用其它进制，那么尾数的整数部分就不是固定的，它有多种取值的可能，以十进制为例，尾数的整数部分可能是 $1\to 9$ 之间的任何一个值，如此一来，尾数的整数部分就无法省略，必须在内存中表示出来。但是将 $base$ 设置为 2，就可以节省掉一个比特位的内存，这也是采用二进制的优势。

3）指数的存储

• 指数是一个整数，并且有正负之分，不但需要存储它的值，还得能区分出正负号来。所以存储时需要考虑到这些。
• 那么它是参照补码的形式来存储的吗？
• 答案是否。
• 指数的存储方式遵循如下步骤：
• 1）由于float和double分配给指数位的比特位不同，所以需要分情况讨论；
• 2）假设分配给指数的位数为 $n$ 个比特位，那么它能够表示的指数的个数就是 $2^n$；
• 3）考虑到指数有正负之分，并且我们希望正负指数的个数尽量平均，所以取一半，$2^{n-1}$ 表示负数，$2^{n-1}$ 表示正数。
• 4）但是，我们发现还有一个 0，需要表示，所以负数的表示范围将就一点，就少了一个数；
• 5）于是，如果原本的指数位 $x$，实际存储到内存的值就是：$$x+2^{n-1}-1$$
• 接下来，我们拿具体float和double的实际位数来举例说明实际内存中的存储方式。

3、浮点数存储内存结构

• 浮点数的内存分布主要分成了三部分：符号位、指数位、尾数位。浮点数的类型确定后，每一部分的位数就是固定的。浮点数的类型，是指它是float还是double。
• 对于float类型，内存分布如下：

• 对于double类型，内存分布如下：

---

• 1）符号位：只有两种取值：0 或 1，直接放入内存中；
• 2）指数位：将指数本身的值加上 $2^{n-1}-1$ 转换成 二进制，放入内存中；
• 3）尾数位：将小数部分放入内存中；

浮点数类型	指数位数	指数范围	尾数位数	尾数范围
float	$8$	$[-2^7+1,2^7]$	$23$	$[(0{)}_2,(\underset{23}{1...1}{)}_2]$
double	$11$	$[-2^{10}+1,2^{10}]$	$52$	$[(0{)}_2,(\underset{52}{1...1}{)}_2]$

4、内存结构验证举例

• 以上文求得的 $14.375$ 为例，我们将它转换成二进制，表示成科学计数法，如下：
• $$(1110.011{)}_2=(1.110011{)}_2\times 2^3$$
• 其中 值 $value=14.375$、符号位 $sign=0$、基数 $base=2$、尾数 $fraction=(1.110011{)}_2$、指数 $exponent=3$；

1）float 的内存验证

• 为了方便阅读，我采用了颜色来表示数字，橙色代表符号位，蓝色代表指数位，红色代表尾数，绿色代表尾数补齐位；并且 八位一分隔，增强可视化。
• 符号位的内存：0
• 指数的内存（加上127后等于130，再转二进制）：10000010
• 尾数的内存（不足23位补零）：1100110 00000000 00000000
• 按顺序组织到一起后得到：01000001 01100110 00000000 00000000

#include 
int main() {
     
    int value = 0b01000001011001100000000000000000;  // (1)
    printf("%f\n",  *(float *)(&value) );            // (2)
    return 0;
}

运算结果如下：
  $(1)$ 第一步，就是把上面那串二进制的 01串 直接拷贝下来，然后在前面加上0b前缀，代表了 $value$ 这个四字节的内存结构就是这样的；
  $(2)$ 第二步，分三个小步骤：
   $(2.a)$ &value代表取value这个值的地址；
   $(2.b)$ (float *)&value代表将这个地址转换成float类型；
   $(2.c)$ *(float *)&value代表将这个地址里的值按照float类型解析得到一个float数；

• 运行结果为：

14.375000

• （有关取地址和指针相关的内容，由于前面章节还没有涉及，如果读者看不懂，也没有关系，后面在讲解指针时会详细讲解这块内容，敬请期待）。

2）double 的内存验证

• 为了方便阅读，我采用了颜色来表示数字，橙色代表符号位，蓝色代表指数位，红色代表尾数，绿色代表尾数补齐位；并且 八位一分隔，增强可视化。
• 符号位的内存：0
• 指数的内存（加上1023后等于1026，再转二进制）：100 00000010
• 尾数的内存（不足52位补零）：1100 11000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
• 按顺序组织到一起后得到：01000000 00101100 11000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

#include 
int main() {
     
    long long value = 0b0100000000101100110000000000000000000000000000000000000000000000;  // (1)
    printf("%lf\n",  *(double *)(&value) );                            // (2)
    return 0;
}

运算结果如下：
  $(1)$ 第一步，就是把上面那串二进制的 01串 直接拷贝下来，然后在前面加上0b前缀，代表了 $value$ 这个八字节的内存结构就是这样的；
  $(2)$ 第二步，分三个小步骤：
   $(2.a)$ &value代表取value这个值的地址；
   $(2.b)$ (double *)&value代表将这个地址转换成double类型；
   $(2.c)$ *(double *)&value代表将这个地址里的值按照double类型解析得到一个double数；

• 没错，运行结果也是：

14.375000

• 这块内容，如果你看的有点懵，没有关系，等我们学了指针的内容以后，再来回顾这块内容，你就会如茅塞一样顿开了！
• 你学废了吗？

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通过这一章，我们学会了：
  浮点数的科学计数法和内存存储方式；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

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课后习题

• 【第06题】给定两个点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，求两点间的距离

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  C语言基础配套试题详解《C语言入门100例》
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