❤️思维导图整理大厂面试高频数组13: 3种方法彻底解决最大子序和问题, 了解线段树的思想, 力扣53❤️
此专栏文章是对力扣上算法题目各种方法的总结和归纳, 整理出最重要的思路和知识重点并以思维导图形式呈现, 当然也会加上我对导图的详解.
目的是为了更方便快捷的记忆和回忆算法重点(不用每次都重复看题解), 毕竟算法不是做了一遍就能完全记住的. 所以本文适合已经知道解题思路和方法, 想进一步加强理解和记忆的朋友, 并不适合第一次接触此题的朋友(可以根据题号先去力扣看看官方题解, 然后再看本文内容).
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文章目录
- 0.导图整理
- 1.动态规划的空间优化
- 2.贪心法的思想
- 3.分治法: 线段树
- 3.1 分治法的意义
- 3.2 分治法的思想
- 3.3 java改Python易错点
- 源码
- Python:
- java:
题目链接: https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/si-wei-dao-tu-zheng-li-3chong-fang-fa-ch-zxih/
0.导图整理
1.动态规划的空间优化
这题是典型的动态规划题目, 最困难的点在于 dp数组的定义及下标含义: 用ai代表nums[i], 用f(i)代表以第i个数结尾的「连续子数组的最大和」, 网上也有很多文章介绍了是如何一步步分析来获得定义的过程的, 但我感觉对于新手来说, 可能还是多见一些类似的题目, 获得大量的经验, 这样比较有效果吧, 毕竟想研究动态规划的理论基础还是挺有难度的.
动态规划最重要的思想就是利用上一个状态, 对于本题而言就是: 到底要不要加上上一个状态f(i-1)的信息, 这完全取决于f(i-1)的正负情况, 这样我们就能得出了动态规划的递推公式: f(i)=max{f(i−1)+ai,ai}
得到了递推公式后就可以编写代码了, 代码中的一个技巧就是对于空间复杂度的优化. 当使用动态规划只需要一个数(并不需要整个dp数组)时, 我们就没必要将整个dp数组都保存下来, 我们只需用变量来记录下我们需要的某个量即可, 这个优化方法在动态规划中还是非常常用的方法, 具体的实现参考代码.
2.贪心法的思想
本题还可以利用贪心法来实现, 贪心的思想是: 从左向右迭代, 一个个数字加过去如果sum<0, 那说明加上它只会变得越来越小, 所以我们将sum置零后重新开始找子序串.
在迭代的过程中要注意, 我们需要用result来不断维持当前的最大子序和, 因为sum的值是在不断更新的, 所以我们要及时记录下它的最大值.
有一个注意点是: 有的朋友可能觉得当数组全是负数的时候可能会出现问题, 其实是没有问题的. 因为在sum不断遍历的过程中, 早已将最大值不断传给result, 即使sum一直是负数被不断置零也不用担心, result还是会记录下最大的那个负数.
3.分治法: 线段树
3.1 分治法的意义
首先说明一点, 对于这道题而言, 分治法是不如上面的两种算法的, 在时间复杂度相同的情况下, 分治法还具有更高的空间复杂度. 分治法的意义如下图所示, 这里讲解它, 主要是为了让大家先了解一下 线段树 这种数据结构, 它还是有很广泛的应用场景的, 毕竟我们刷算法也是学习的过程, 早晚也都会接触到它的.
3.2 分治法的思想
大家直接看官方题解的思想可能会一头雾水, 根本不知道这些要维护的变量是怎么来的, 我找到了另外一篇文章详细介绍了整个思想的流程, 说明了变量是如何一步一步获得的, 讲解的还是挺清楚的, 如果还是感觉不太懂, 可以看看我录制的配套视频, 根据图片更详细的说明了整个推导过程.
理解了推导过程后, 再来看官方的题解就比较清晰了, 也能明白每个变量的由来了. 下面是我整理的官方题解的思路:
3.3 java改Python易错点
在理解算法思想后, 算法还是比较容易理解的, 但是官方只提供了java的版本, 我在自己转化为Python语言的时候, 还是遇到了不少问题的, 因为它涉及到了类的各种相关操作, 差别还是很大的, 如果不使用Python语言的话, 这部分就可以跳过了.
-
定义类时用class, 第一参数是self(没参数也可以), 定义方法用def, 第一个参数必须是self.
-
定义类的实例属性, 比如lSum, 定义时必须进行赋值, 比如lSum = 0, 不进行赋值是会报错的.
-
调用方法的时候, 第一个参数必须是self, 这个和java是完全不同的, 不加这个参数就会提醒你少了个参数. 调用类的时候,若定义类时没有参数,不用加self.
-
若你看到出现某某方法还未定义的错误, 那说明你定义的几个方法不是平级的关系, 在java中似乎是没有区别的, 但是在Python中, 你必须要将被用到的方法放入此方法里面, 也就是缩进一级, 具体操作看两者代码的不同.
这些就是我在改代码时遇到的比较严重的错误, 可以先了解一下, 说不定以后你也会遇到呢!
源码
Python:
# 动态规划
class Solution{
public int maxSubAray(int[] nums){
//类似寻找最大最小值的题目,初始值一定要定义成理论上的最小最大值
int result = Integer.MIN_VALUE;
int numsSize = nums.length;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < numsSize; i++){
sum += nums[i];
result = Math.max(result, sum);
//如果sum < 0,重新开始找子序串
if (sum < 0){
sum = 0;
}
}
return result;
}
}
# 贪心法
class Solution:
def maxSubAray(self, nums: List[int]) -> int:
# 类似寻找最大最小值的题目,初始值一定要定义成理论上的最小最大值
result = float("-inf")
numsSize = len(nums)
sum = 0
for i in range(numsSize):
sum += nums[i]
result = max(result, sum)
# 如果sum < 0,重新开始找子序串
if (sum < 0):
sum = 0
return result
# 分治法: 线段树
class Solution :
def maxSubAray(self, nums: List[int]) -> int:
class wtevTree : # 线段树
lSum = 0 # 以左区间为端点的最大子段和
rSum = 0 # 以右区间为端点的最大子段和
iSum = 0 # 区间所有数的和
mSum = 0 # 该区间的最大子段和
def __init__(self,l, r, i, m) : # 构造函数
self.lSum = l
self.rSum = r
self.iSum = i
self.mSum = m
# 通过既有的属性,计算上一层的属性,一步步往上返回,获得线段树
def pushUp(self, leftT: wtevTree, rightT: wtevTree) -> wtevTree:
# 新子段的lSum等于左区间的lSum或者左区间的 区间和 加上右区间的lSum
l = max(leftT.lSum, leftT.iSum + rightT.lSum)
# 新子段的rSum等于右区间的rSum或者右区间的 区间和 加上左区间的rSum
r = max(leftT.rSum + rightT.iSum, rightT.rSum)
# 新子段的区间和等于左右区间的区间和之和
i = leftT.iSum + rightT.iSum
# 新子段的最大子段和,其子段有可能穿过左右区间,或左区间,或右区间
m = max(leftT.rSum + rightT.lSum, max(leftT.mSum, rightT.mSum))
return wtevTree(l, r, i, m)
# 递归建立和获得输入区间所有子段的结构
def getInfo(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> wtevTree:
if (left == right): # 若区间长度为1,其四个子段均为其值
return wtevTree(nums[left], nums[left], nums[left], nums[left])
mid = (left + right) >> 1 # 获得中间点mid,右移一位相当于除以2,运算更快
leftT = getInfo(self, nums, left, mid)
rightT = getInfo(self, nums, mid + 1, right) # mid+1,左右区间没有交集。
return pushUp(self, leftT, rightT) # 递归结束后,做最后一次合并
if ( not nums or len(nums) <= 0): # 输入校验
return 0
lens = len(nums) # 获取输入长度
return getInfo(self, nums, 0, lens - 1).mSum
java:
// 动态规划
class Solution {
public int maxSubAray(int[] nums) {
int pre = 0, maxAns = nums[0];
for (int x : nums) {
//pre来维护对于当前f(i)的f(i−1)的值是多少
pre = Math.max(pre + x, x);//判断f(i-1)是否要加到当前数上
maxAns = Math.max(maxAns, pre);//获取最大值
}
return maxAns;
}
}
// 贪心法
class Solution{
public int maxSubAray(int[] nums){
//类似寻找最大最小值的题目,初始值一定要定义成理论上的最小最大值
int result = Integer.MIN_VALUE;
int numsSize = nums.length;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < numsSize; i++){
sum += nums[i];
result = Math.max(result, sum);
//如果sum < 0,重新开始找子序串
if (sum < 0){
sum = 0;
}
}
return result;
}
}
// 分治法: 线段树
class Solution {
public int maxSubAray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length <= 0)// 输入校验
return 0;
int len = nums.length;// 获取输入长度
return getInfo(nums, 0, len - 1).mSum;
}
class wtevTree {
//线段树
int lSum;// 以左区间为端点的最大子段和
int rSum;// 以右区间为端点的最大子段和
int iSum;// 区间所有数的和
int mSum;// 该区间的最大子段和
wtevTree(int l, int r, int i, int m) {
// 构造函数
lSum = l;
rSum = r;
iSum = i;
mSum = m;
}
}
// 通过既有的属性,计算上一层的属性,一步步往上返回,获得线段树
wtevTree pushUp(wtevTree leftT, wtevTree rightT) {
// 新子段的lSum等于左区间的lSum或者左区间的 区间和 加上右区间的lSum
int l = Math.max(leftT.lSum, leftT.iSum + rightT.lSum);
// 新子段的rSum等于右区间的rSum或者右区间的 区间和 加上左区间的rSum
int r = Math.max(leftT.rSum + rightT.iSum, rightT.rSum);
// 新子段的区间和等于左右区间的区间和之和
int i = leftT.iSum + rightT.iSum;
// 新子段的最大子段和,其子段有可能穿过左右区间,或左区间,或右区间
int m = Math.max(leftT.rSum + rightT.lSum, Math.max(leftT.mSum, rightT.mSum));
return new wtevTree(l, r, i, m);
}
// 递归建立和获得输入区间所有子段的结构
wtevTree getInfo(int[] nums, int left, int right) {
if (left == right) // 若区间长度为1,其四个子段均为其值
return new wtevTree(nums[left], nums[left], nums[left], nums[left]);
int mid = (left + right) >> 1;// 获得中间点mid,右移一位相当于除以2,运算更快
wtevTree leftT = getInfo(nums, left, mid);
wtevTree rightT = getInfo(nums, mid + 1, right);//mid+1,左右区间没有交集。
return pushUp(leftT, rightT);//递归结束后,做最后一次合并
}
}
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