PyTorch | 自动求导 Autograd

\qquad 在神经网络中，一个重要的内容就是进行参数学习，而参数学习离不开求导，那么 $PyTorch$ 是如何进行求导的呢？
\qquad 现在大部分深度学习架构都有自动求导的功能， $PyTorch$ 也不例外， $PyTorch$ 中所有神经网络的核心是 autograd包，它就是用来自动求导的。 autograd包为张量上的所有操作提供了自动求导机制。它是一个在运行时定义（ define-by-run）的框架，这意味着反向传播（ 神经网络前向传播 & 反向传播）是根据你的代码来确定如何运行，并且每次迭代可以是不同的。
\qquad torch.Tensor是 autograd包的核心类，在自动梯度计算中还有另外一个重要的类 torch.Function，这两个类相互连接并生成一个 有向非循环图，它表示和存储了完整的计算历史。接下来我们先简单介绍 $tensor$ 如何实现自动求导，然后介绍计算图，最后用代码来实现这些功能。

一、自动求导要点

\qquad 无论如何定义计算过程、如何定义计算图，要谨记我们的核心目的是为了计算某些 $tensor$ 的梯度。在 $pytorch$ 的计算图中，其实只有两种元素：数据（$tensor$）和运算，运算就是加减乘除、开方、幂指对、三角函数等可求导运算，而 $tensor$ 可细分为两类：叶子节点（Leaf Node）和非叶子节点。使用 backward() 函数反向传播计算 $tensor$ 的梯度时，并不计算所有 $tensor$ 的梯度，而是只计算满足这几个条件的 $tensor$ 的梯度：
\qquad\qquad （1）类型为叶子节点
\qquad\qquad （2）requires_grad=True
\qquad\qquad （3）依赖该 $tensor$ 的所有 $tensor$ 的 $requires\_grad=True$

$为实现对Tensor自动求导，需要考虑以下事项：$

1. 创建叶子节点（Leaf Node）的 $tensor$，使用requires_grad参数指定是否记录对其的操作，requires_grad参数的缺省值为 $False$。如果设置requires_grad参数为 $True$，那么将会追踪所有对于该张量的操作。 当完成计算后通过调用backward()方法自动计算所有的梯度， 这个张量的所有梯度将会自动积累到grad属性。

2. 可以使用tensor.requires_grad_()方法修改 $tensor$ 的requires_grad属性。要阻止张量跟踪历史记录，可以调用tensor.detach()方法将其与计算历史记录分离，并禁止跟踪它将来的计算记录。为了防止跟踪历史记录（和使用内存），可以将代码块包装在with torch.no_grad():中。在评估模型、测试模型阶段中特别有用，因为模型中可能具有requires_grad = True的可训练参数，但是我们不需要梯度计算。

3. 通过运算创建的 $tensor$（即非叶子节点）会自动被赋予grad_fn属性，该属性引用了创建 $tensor$ 自身的 $Function$（用户手动创建的 $tensor$ 的grad_fn是 $None$，即叶子节点的grad_fn为 $None$）

4. 最后得到的 $tensor$ 执行 backward()函数，此时自动计算各变量的梯度，并将累加结果保存到grad属性中。计算完成后，非叶子节点的梯度自动释放。

5. backward()函数：torch.autograd.backward(tensors, grad_tensors=None, retain_graph=None, create_graph=False, grad_variables=None)
   \qquad 参数 $tensors$ 如果是标量，函数 $backward$ 计算参数 $tensors$ 对于给定计算图叶子节点的梯度。
   \qquad 参数 $tensors$ 如果不是标量，需要另外指定参数 $grad\_tensors$，参数 $grad\_tensors$ 必须和参数 $tensors$ 的长度相同，或者满足 广播机制 。在这一种情况下，$backward$ 实际上实现的是代价函数关于计算图叶子节点的梯度计算，而不是参数 $tensors$ 对于给定计算图叶子节点的梯度。

6. 反向传播的中间缓存会被清空，如果需要进行多次反向传播，需要指定backward()函数中的参数retain_graph=True。多次反向传播时，梯度是累加的。

7. 非叶子节点的梯度 backward 调用后即被清空。

8. 可以通过用 torch.no_grad() 包裹代码块的形式来阻止 autograd 去跟踪那些标记为 .requesgrad=True 的张量的历史记录。这一步在测试阶段经常使用。

\qquad 在整个过程中，$PyTorch$ 采用计算图的形式进行组织，该计算图为动态图，且在每次前向传播时，将重新构建。

二、计算图

\qquad 计算图是一种有向无环图像（Directed Acyclic Graph，DAG），用图形方式来表示算子与变量之间的关系，直观高效。如下图所示，圆形表示变量，矩阵表示算子。如表达式：$z=wx+b$，可以写成两个表达式：$y=wx$，则 $z=y+b$，其中 $w、x、b$ 是变量，是用户创建的变量，不依赖于其他变量，故又称为叶子节点。为计算各叶子节点的梯度，需要把对应的张量参数requires_grad设置为 $True$，这样就可以自动跟踪其历史记录。$y、z$ 是计算得到的变量，非叶子节点，z为根节点。$mul$ 和 $add$ 是算子（或操作或函数）。由这些变量及算子，就构成一个完整的计算过程（或前向传播过程）。

$$前向传播计算图$$

\qquad 我们的目标是更新各叶子节点的梯度，根据复合函数倒数的链式法则，不难算出各叶子节点的梯度：
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}=w \\ \frac{\partial z}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w}=x \\ \frac{\partial z}{\partial b}=1 \end{gathered}$$
$PyTorch$ 调用 backward() 方法，将自动计算各节点的梯度，这是一个反向传播过程，这个过程可用下图表示。且在反向传播过程中，autograd沿着下图，从当前根节点 $z$ 反向溯源，利用导数链式法则，计算所有叶子节点的梯度，其梯度值将累加到grad属性中。对非叶子节点的计算操作（或Function）记录在grad_fn属性中，叶子节点的grad_fn值为None。

$$反向传播计算图$$

三、标量反向传播

\qquad 假设 $x、w、b$ 都是标量，$z=wx+b$，对标量 $z$ 调用 backward() 方法，我们无须对 backward() 传入参数。

$注：只有浮点型数据才能计算梯度，其他类型数据是不能计算张量梯度的。$

\qquad 以下是实现自动求导的代码：

import torch
# 1. 定义叶子节点及算子节点
# 定义输入张量x
x = torch.Tensor([2])
# 初始化权重参数w，偏移量b，并设置requires_grad属性为True，为自动求导
w = torch.randn(1,requires_grad=True)
b = torch.randn(1,requires_grad=True)
# 实现前向传播
y = torch.mul(w,x) # 等价于w*x
# retain_grad()显式地保存非叶节点的梯度
y.retain_grad()
z = torch.add(y,b) # 等价于y+b
# retain_grad()显式地保存非叶节点的梯度
z.retain_grad()
# 查看x,w,b叶子节点的requires_grad属性
print("x,w,b 的 requires_grad 属性分别为：{},{},{}".format(x.requires_grad,w.requires_grad,b.requires_grad))

# 2. 查看叶子节点、非叶子节点的属性
# 查看非叶子节点的requires_grad属性
# 因与w，b有依赖关系，故y，z的requires_grad属性也是：True，True
print("y,z 的 requires_grad 属性分别为：{},{}".format(y.requires_grad,z.requires_grad))
# 查看各节点是否为叶子节点
# x,w,b,y,z 是否为叶子节点：True,True,True,False,False
print("x,w,b,y,z 是否为叶子节点：{},{},{},{},{}".format(x.is_leaf,w.is_leaf,b.is_leaf,y.is_leaf,z.is_leaf))
# 查看叶子节点的grad_fn属性
# 因为x,w,b都为用户所创建，故x,w,b的grad_fn属性：None,None,None
print("x,w,b 的 grad_fn 属性：{},{},{}".format(x.grad_fn,w.grad_fn,b.grad_fn))
# 查看非叶子节点的grad_fn属性
print("y,z 的 grad_fn 属性：{},{}".format(y.grad_fn,z.grad_fn))

# 3. 自动求导，实现梯度方向传播，即梯度的反向传播
# 基于z张量进行梯度反向传播，执行backward之后计算图会自动清空
# 如果需要多次使用backward，需要修改参数retain_graph为True，此时梯度是累加的
# z.backward(retain_graph=True)
z.backward()
# 查看叶子节点的梯度，x是叶子节点但它无须求导，故其梯度为None
print("叶子节点x,w,b的梯度分别为：{},{},{}".format(x.grad,w.grad,b.grad))
# 非叶子节点的梯度，执行backward之后，会自动清空
print("非叶子节点y,z的梯度分别为：{},{}".format(y.grad,z.grad))

四、非标量反向传播

$PyTorch$ 有个简单的规定，不让张量（Tensor）对张量求导，只允许标量对张量求导，因此，如果目标张量对一个非标量调用backward()，则需要传入一个gradient参数，该参数也是张量，而且需要与调用backward()的张量形状相同。

\qquad 传入gradient参数是为了把张量对张量的求导转换为标量对张量的求导。举例来说，假设目标值为 $loss\text{loss}loss=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$，输入值为 $x\text{x}x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，传入的gradient参数为 $v\text{v}v=(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$，那么就可以把张量 ${loss\text{loss}loss}^T$ 对张量 $x\text{x}x$ 的求导，转换为标量 $v\text{v}v\cdot {loss\text{loss}loss}^T$ 对张量 $x\text{x}x$ 的求导。即把张量 $v\text{v}v$（维度为 $1\times m$）乘以原来 $\frac{\partial {loss}^T\text{loss T}{loss}^T}{\partial x\text{x}x}$ 得到的雅可比（Jacobian）矩阵（维度为 $m\times n$），便可以得到一个梯度矩阵（维度为 $1\times n$）。

\qquad 下面通过一个实例进行说明。

1. 定义叶子节点及算子节点

import torch
# 定义叶子节点张量x，形状为1x2
x = torch.tensor([[2,3]],dtype=torch.float,requires_grad=True)
# 初始化 Jacobian 矩阵
J = torch.zeros(2, 2)
# 初始化目标张量，形状为1x2
y = torch.zeros(1, 2)
# 定义y与x之间的映射关系，y1=x1**2+3*x2，y2=x2**2+2*x1
y[0,0] = x[0,0] ** 2 + 3 * x[0,1]
y[0,1] = x[0,1] ** 2 + 3 * x[0,0]

2. 手工计算 y 对 x 的梯度

\qquad 我们先手工计算一下 $y$ 对 $x$ 的梯度，验证 $PyTorch$ 的 $backward$ 的结果是否正确。

$y$ 对 $x$ 的梯度是一个雅可比矩阵，我们可以通过以下方法进行计算各项的值。

\qquad 假设 $x=(x_1=2,x_2=3)$，$y=(y_1=x_1^2+3x_2,y_2=x_2^2+2x_1)$，不难得到：
$$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\ & \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x_1& 3\\ 2& 2x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 6\end{array}\right]$$

3. 调用 backward 来获取 y 对 x 的梯度

y.backward(torch.Tensor([[1,1]]))
print(x.grad) # 结果为 tensor([[6., 9.]])

\qquad 这个结果与我们手工运算的不符，虽然这个结果是错误的，那错在哪里呢？这个结果的计算过程是：
$$v^T\text{vT}{v}^T\cdot J=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 9\end{array}\right]$$

\qquad 由此可见，错在 $v\text{v}v$ 的取值，通过这种方式得到的并不是 $y$ 对 $x$ 的梯度。这里我们可以分成两步计算。首先，让 $v\text{v}v=(1,0)$ 得到 $y_1$ 对 $x\text{x}x$ 的梯度；然后，使 $v\text{v}v=(0,1)$ 得到 $y_2$ 对 $x\text{x}x$ 的梯度。这里因需要重复使用backward()，需要使参数retain_graph=True，具体代码如下：

# 生成y1对x的梯度
y.backward(torch.Tensor([[1,0]]),retain_graph=True)
J[0]=x.grad
# 梯度是累加的，故需要对x的梯度清零
x.grad=torch.zeros_like(x.grad)
# 生成y2对x的梯度
y.backward(torch.Tensor([[0,1]]))
J[1]=x.grad
# 显示Jacobian矩阵的值
# tensor([[4., 3.],
#        [2., 6.]])
print(J)