洛伦兹曲线看财富分配的公平性

读了篇自己很早以前的写的一篇文章，学到了不少，然而和最近的一些新想法相冲突，所以本文先抽象简化之前那篇，最后加上浙江温州那段，后面有时间再写关于多维填充导致的尺度不变性的解释，也就是幂律的终极根源。

原文参见：
https://blog.csdn.net/dog250/article/details/79427812

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洛伦兹曲线

洛伦兹曲线 可以帮助人们在一幅图中看清楚社会财富的分配情况。

• 第1步，画出横坐标。让参与财富分配的人按照自己收入从低到高依次从左到右等距排队：
  
• 第2步，画出纵坐标。横坐标任意区间对应的那部分人在纵坐标对应区间表示他们的财富所占总财富的比例：

• 第3步，描点。把所有的散点描入基于上面两步建立的坐标系中，用平滑曲线将它们相连：

这就是洛伦兹曲线。

接下来我们来看洛伦兹曲线的一些性质以及一些更为细节的东西：

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洛伦兹曲线的性质

由于洛伦兹曲线的横坐标表示的人口是按照收入从低到高排队的，曲线的斜率正是该点所对应人口的 收入绝对值 ，由于横坐标是排序的，所以我们得出一个性质：

洛伦兹曲线一定是下凸的，随着横坐标增加，其对应点的斜率单调递增。

另外，横坐标上的点到原点的距离表示的是积累人口，把所有人口作为 单位1 并取百分比的话，横坐标的做大标度就是1，而纵坐标表示财富百分比，它的最大标度自然就是1，也就是100%，因此，有第二个性质：

洛伦兹曲线被围在$(0,0)$，$(100\%,0)$，$(100\%,100\%)$，$(0,100\%)$这个四方块中。

有了上面的性质，我们看看都能得到什么结论。

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所有人收入都一样的情况

所有人收入都一样的时候，洛伦兹曲线是一条直线，只有直线的斜率不会变化：

该直线的方程是：
$y=x$

正态分布的情况

正态分布的意思是，巨穷和巨富都很少，大部分人收入都差不多，假设有1000人，其中2人巨穷，收入只有10元，2人巨富，收入有100元，其余所有人收入都是50元，这就是一个正态分布：

我们把它的洛伦兹曲线大致画出来。注意，由于本例中只有3种收入，不存在渐变，所以洛伦兹曲线应该由3段线端构成：

实际的正态分布并不是这样，它看起来是下面的样子：

它是自相似的，也就是从下到上随意截取局部，其结果均是一个新的正态分布：

因此，洛伦兹曲线也可以用相似的方式画出：

其实就是不断的放大局部并细化，类似分形。

幂律的情况

现在该看幂律了。这也是我们的重点。

幂律的结论是 一小撮人占据了巨量的财富。让我们在洛伦兹曲线上看一下：

这里很容易看出马太效应。

马太效应说的是仅拥有少量富人却占据了大量财富，显然不公平就是那些个少量富人引起的，但是反过来，不公平能不能是少量穷人引起的呢？或者不公平会不会是大量穷人引起的呢？

少量穷人或者大量穷人

***穷***和***富***是一对反义词，既然少量的巨富能引起所谓的不公平，那么少量的穷人会不会有同样的效果呢？让我们画出洛伦兹曲线：

可见，如果只有少量的穷人，不会引起不公平，在社会财富总量一定的情况下，在洛伦兹曲线被完全公平线围住的情况下，意味着中产阶级的收入不会高出平均收入太多。

那么，如果有巨量的穷人呢？我们再来看洛伦兹曲线：

情况完全不同。

为什么在数学上以及在描述上完全对称的穷和富，在洛伦兹曲线上会发生如此大的差异？

因为 财富是在负熵 创造的。你的财富被平均导致了你穷，这是一件不需要 努力 的事，这是熵的自然增加，反过来，如果你想富就必须采取行动降低熵值。

所以这里有个社会学的结论，如果你觉得不公平，十有八九是因为你自己，没有人可以空手套白狼。

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基尼指数

基于洛伦兹曲线的***基尼指数*** ，是 资源分配不公平程度的定量度量。

我们可以用 洛伦兹曲线偏离公平线的程度 来求出基尼指数，定量来讲，求出下列面积的比值即可：

$\frac{A}{A+B}$

如果我们有洛伦兹曲线的方程式，那么就可以很容易用***定积分***来求出各部分面积，从而得到基尼指数的值。

我们可以用很多数学方法来拟合出洛伦兹曲线。

基尼指数的遗漏

基尼指数只是一个标量数值，你能从这个值里得到不同的解释。

显然，这个值是计算面积的比值得到的，还是以穷人与富人举例，我们看看下面的两条洛伦兹曲线：

很显然两条曲线所计算出的基尼指数是相同的，但二者的问题的原因却是相反的。

从曲线1可以看出，问题的根源在于富人，而从曲线2可以看出，问题则是由于少数穷人导致的，虽然基尼指数相同，但是从洛伦兹曲线走向的差异可以指导相关的策略是对富人征税还是对穷人补贴，这二者的结果显然差异巨大。

无论如何，上面的例子虽然看起来两条曲线的基尼指数是相同的，但是两条曲线总体看来 其基尼指数都不是太大。

如果基尼指数很大，我们必须将其归结成 一种原因 ，而 不能是两个相反的原因。

不公平只能由一个原因引起

由于完全公平线的存在，只要有穷人或者有富人，洛伦兹曲线就会往右往下被拉伸！

往右拉伸增加了穷人的数量，往下拉伸增加了富人的财富！

这确实是一个 正反馈 关系，这就是 穷者越穷，富者越富 的根源！这就是 马太效应 ！

这里给出一个收敛模型。

先看下图，模型都在图里，注意两条关于

$y=-x+1$

对称的洛伦兹曲线(显然其基尼指数是相同的) 关键拐点(收入开始大于平均收入的点！) 之间的距离：

从图上可以看出，如果那两个黑点中的其中一个向着直线$y=-x+1$靠近，关于其对称的另一条也会向其靠近，最终二者的收敛点就是在直线$y=-x+1$上。

接下来我们只需讨论 关键拐点在$y=-x+1$上的情况就好了：

看来，用面积的比值计算而得到的基尼指数，真的可以直观地表示出不公平程度。

现在的问题是，洛伦兹曲线能否提供一种 动力学的解释 ，让我们看到更加深刻的造就这条曲线的内在原因呢？

就是说“巨大的不公平(即马太效应)到底是大量的穷人导致的呢，还是少量富人导致的呢？”，这就是在问：

是大量的穷人造就了少量富人呢，还是少量富人引起了大量穷人的产生？

诡异的因果轮回

上节最后的提问，我相信大多数的回答是后者，或者情愿认为是后者，然而，我觉得恰恰相反，马太效应的根源在于 大量穷人的不努力 ，而不是 少量富人的努力 ：

• 不努力是个体行为，没有积累效应。
• 努力具有积累效应，资本逐利。 （关于这一点，是尺度不变性导致的。）

我就问下面两种平衡哪种更容易维持吧：

必然是第一个更容易维持平衡，因为 不需要费劲，这是一个负反馈，而第二个平衡如果想维持，必然要持续注入能量，这是一个正反馈。

这非常好理解，你想穷的话，简单放松任其自然就好了，如果想富，就必然不断努力。

假设一开始财富的分配是公平的，我们来看看事情如何演化：

曲线往右下方向拉伸，这是一个自然的趋势，因为每一个人都希望尽可能省力！这也是物理学上的真理。

那么，为什么会有努力的人，大家难道不能一起松懈吗？

这里的假设是基于正态分布统计的，假设大部分人都维持现状，然后少部分人松懈，少部分人努力一点点。但是要知道，这个正态分布只是一个瞬间量，因为 松懈毫不费力，致富需要努力 这个原因，松懈的人越来越多。

但是 富人却不会越来越多，而是已经富的人会越来越富 。

这是一个 一将功成万骨枯 的模型，而不是集体大生产的模型。

这是为什么？

因为起初致富的那一小戳人是起初松懈的那一小撮人造就的，然而他们却为自己增加了一点点 正能量 ，这可以让他们获取先机，显然，这是一个递归滚雪球的过程，这个过程可以定性地解释马太效应的成因。

财富是一个低熵体，必然要注入能量而产生或者拥有，这是一个费力做功的过程。

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如果加上创新和revolution因素，洛伦兹曲线自身也会长高，因为新财富在不断被创造：

人口不变的情况下，总的财富会增加，当不公平程度达到极限时，总的财富就会被重新分配，然后整体上就会被动重新达到新的不公平极限。如此轮回！

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。