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单纯形法之两阶段法

单纯形法之两阶段法

  • 单纯形法之两阶段法
    • 两阶段法具体思路
    • 解的判别

单纯形法之两阶段法

单纯形法基本步骤

N
Y
化标准型
确定初始基可行解
检查是否为最优解
确定改善方向
求新的基可行解
求最优目标函数

两阶段法具体思路

  • 构造合适目标函数找出一组可行基
  • 构造 Z = − x n + 1 − x n + 2 Z=-x_{n+1}-x_{n+2} Z=−xn+1​−xn+2​;也能换出人工变量
  • Z Z Z达到最大值 0 , x n + 1 , x n + 2 0,x_{n+1},x_{n+2} 0,xn+1​,xn+2​为0，有两种可能：
    a、 x n + 1 , x n + 2 x_{n+1},x_{n+2} xn+1​,xn+2​成为非基变量。得到不包含人工变量的初始可行基。进入下一阶段。
    b、 x n + 1 或 x n + 2 x_{n+1}或x_{n+2} xn+1​或xn+2​是基变量，但为0。退化。
    4. Z Z Z达到最大但不是0，说明起码不可能将人工变量完全换出，问题无解。

解的判别

  • 无界解
    目标函数为最大，如果换入变量 x k x_k xk​所在系数均小于等于0，即 a i k ′ ≤ 0 （ i = 1 , 2 , 3...... m ) a_{ik}^{'}≤0（i=1,2,3......m) aik′​≤0（i=1,2,3......m)，则利用最小规则无法得到一个换出变量。
  • 无穷多解
    非基变量检验数等于0，表示换入换出一样，所以有无穷多解。
  • 退化解
    一般情况，基可行解中非0分量个数等于约束方程的个数m。如果某一基可行解中非0分量个数小于m，即一些基变量值等于0，该基解为退化解。
    按 θ \theta θ规则确定换出变量时，同时存在两个以上相同的最小比值，在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现了退化解，继续迭代，目标值不变，造成死循环。
    判别：当 b i b_i bi​中有一个以上为0时，就称为退化。
    避免：摄动法，词典序法，“勃兰特”法

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