[luogu5180]支配树

对于有向图$G$和起点$s$,有以下定义和性质——

为了方便,不妨假设$s$能到达$G$中所有点,并任意建立一棵以$s$为根的dfs树,以下节点比较默认均按照两点在这棵dfs树上的dfs序

支配点:$x$是$t$的支配点当且仅当将$x$以及相关的边删除后,不存在$s$到$t$的路径,也称作$x$支配$t$

(特别的,约定$s$和$t$均是$t$的支配点)

支配树:一棵以$s$为根的树,满足$t$的支配点恰是$t$到根的路径上所有点

引理1:若$x

可以简单归纳证明,具体过程略

引理2:对于$t\ne s$,支配树上$t$的父亲为dfs树上$t$最深(且不为本身)的支配点(支配树存在且唯一)

注意到$t$的支配点必然是$t$或$t$在dfs树上的祖先,因此显然成立

记该点为$idom_{t}$,问题即如何求$idom$

半支配点:$x$是$t$的半支配点当且仅当存在一条$x$到$t$的路径,满足路径中所有点(除起点和终点外)均大于$x$

引理3:上述定义中,"所有点(除起点和终点外)均大于$x$"等价于"所有点(除起点外)均不是$x$的祖先

必要性显然,充分性根据引理1也显然

记$t$的半支配点中最小的为$semi_{t}$,考虑如何求$semi$

性质1:若$t\ne s$,则$semi_{t}=\min\{\min_{(x,t)\in E}x,\min_{k>t,k子树中\exists (x,t)\in E}semi_{k}\}$

若$(x,t)\in E$,显然$x$是$t$的半支配点,即有$semi_{t}\le x$

若$k>t$且$k$子树中$\exists (x,t)\in E$,那么构造路径$semi_{k}\rightarrow k\rightarrow x\rightarrow t$,显然$semi_{k}$也是$t$的半支配点,即有$semi_{t}\le semi_{k}$

结合两者,即得到左式$\le $右式

另一方面,考虑$semi_{t}$到$t$路径上最后一条边$(x,t)$,对其分类讨论:

1.若$x=semi_{t}$,即有$semi_{t}\ge \min_{(x,t)\in E}x$

2.若$x\ne semi_{t}$,取$semi_{t}$到$t$路径上$x$最浅的祖先$k$(除起点外),再考虑到$k$之前的这一段路径,结合引理3可得$semi_{t}$也是$k$的支配点,即有$semi_{t}\ge \min_{k>t,k子树中\exists (x,t)\in E}semi_{k}$

两者包含了所有情况,因此又得到左式$\ge$右式,即得证

引理4:若$t\ne s$,则$idom_{t}$是$semi_{t}$或其祖先,$semi_{t}$是$t$的祖先

前者根据定义显然,后者考虑$fa_{t}$总是$t$的半支配点,因此$semi_{t}\le fa_{t}

性质2:若$t\ne s$,则$idom_{t}=\begin{cases}semi_{t}&(semi_{u}=semi_{t})\\idom_{u}&(semi_{u}

(树链$(semi_{t},t]$指在dfs树上从$semi_{t}$到$t$的路径上除$semi_{t}$的点集)

(注意到$u$可以取$t$,那么显然$semi_{u}\le semi_{t}$)

对两种情况分别证明——

第一种情况下,注意到$semi_{t}$已经是$idom_{t}$的"下界",那么只需要证明其支配$t$即可

若$semi_{t}=s$显然成立,否则考虑反证法:

假设删除$semi_{t}$以及相关的边后还存在一条$s$到$t$的路径,考虑路径上最后一个是$semi_{t}$祖先的点$x$和之后第一个在树链$(semi_{t},t]$上的点$u$(由于$s$和$t$分别满足两者的条件,因此总存在)

考虑$x$到$u$的这一段,结合引理3可得$x$也是$u$的半支配点,与$semi_{u}$的最小性矛盾

第二种情况下,若$idom_{t}$不支配$u$,那么从$s$到$u$再到$t$即可(注意$idom_{t}\le semi_{t}

类似地定义$x$和$u$(将$semi_{t}$均变为$idom_{u}$),注意到$u$必然还在树链$(semi_{t},t]$上(否则显然$idom_{u}$不是$u$的支配点),进而同理$x$也是$u$的半支配点,与$semi_{u}$的最小性矛盾

另外,其实性质2有以下类似地描述(理解)方式——

性质2':若仅保留树边和$(semi_{t},t)$的边(其中$t\ne s$),得到的新图$G'$支配树与$G$相同

 

综合上述分析,来考虑具体的实现:

求$semi$——根据性质1,从后往前依次求,即支持单点修改、查询单点到根路径极值,由于其形式的特殊性可以用带权并查集维护,时间复杂度为$o(n\log n)$(仅路径压缩的并查集)

求$idom$——根据性质2,类似地求即可(注意顺序,需按照$semi$从后往前求出$u$,再从前往后求出$idom$),时间复杂度同样为$o(n\log n)$

最后建出支配树,再简单求和即可,时间复杂度为$o(n)$

最终,总复杂度为$o(n\log n)$​,可以通过

(另外,本题中若$s$不能到达$t$,则$t$的支配点仅定义为$s$和$t$)

 1 #include
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 vector<int>v[N],rev_v[N],Q[N];
 5 int n,m,x,y,dfn[N],pos[N],Fa[N],fa[N],mn[N],semi[N],idom[N],ans[N];
 6 int get_min(int x,int y){
 7     if (dfn[x]return x;
 8     return y;
 9 }
10 int get_min_semi(int x,int y){
11     if (dfn[semi[x]]return x;
12     return y;
13 }
14 int find(int k){
15     if (k==fa[k])return k;
16     int x=find(fa[k]);
17     mn[k]=get_min_semi(mn[k],mn[fa[k]]);
18     return fa[k]=x;
19 }
20 void update(int k){
21     fa[k]=Fa[k],mn[k]=k;
22 }
23 int query(int k){
24     find(k);
25     return mn[k];
26 }
27 void dfs(int k){
28     dfn[k]=++dfn[0],pos[dfn[0]]=k;
29     for(int i=0;i)
30         if (!dfn[v[k][i]]){
31             Fa[v[k][i]]=k; 
32             dfs(v[k][i]);
33         }
34 }
35 int main(){
36     scanf("%d%d",&n,&m);
37     for(int i=1;i<=m;i++){
38         scanf("%d%d",&x,&y);
39         v[x].push_back(y);
40         rev_v[y].push_back(x);
41     }
42     dfs(1);
43     int nn=dfn[0]++;
44     for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,mn[i]=0;
45     for(int i=nn;i>1;i--){
46         int t=pos[i];
47         for(int j=0;j){
48             semi[t]=get_min(semi[t],rev_v[t][j]);
49             semi[t]=get_min(semi[t],semi[query(rev_v[t][j])]);
50         }
51         Q[dfn[semi[t]]].push_back(t);
52         for(int j=0;j){
53             int t=Q[i][j];
54             idom[t]=query(t);
55         }
56         update(t);
57     }
58     for(int i=0;i1].size();i++){
59         int t=Q[1][i];
60         idom[t]=query(t);
61     }
62     for(int i=2;i<=nn;i++){
63         int t=pos[i];
64         if (semi[idom[t]]==semi[t])idom[t]=semi[t];
65         else idom[t]=idom[idom[t]];
66     }
67     for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=1;
68     for(int i=nn;i>1;i--){
69         int t=pos[i];
70         ans[idom[t]]+=ans[t];
71     }
72     ans[1]=n;
73     for(int i=1;i"%d ",ans[i]);
74     printf("%d\n",ans[n]);
75     return 0;
76 } 
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