什么是最小生成树？
最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST.
最小生成树要求图是连通图。连通图指图中任意两个顶点都有路径相通，通常指无向图。理论上如果图是有向、多重边的，也能求最小生成树，只是不太常见。
普利姆算法
算法介绍
应用 --> 修路问题
图解分析
假设从A村开始
A - C[7] A - G[2] A - B[5]
2.
A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]
3.
A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]
...........
4.
5.
6.
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试图是否创建成功
char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示，10000这个大数，表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },
{ 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },
{ 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },
{ 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };
// 创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
// 创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
// 输出
minTree.showGraph(graph);
// 测试普利姆算法
minTree.prim(graph, 0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
/**
* 创建图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 编写prim算法，得到最小生成树
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
// visited[] 标记节点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
// visited[] 默认元素的值都是0，表示没有访问过
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
visited[i] = 0;
}
// 把当前这个节点标记为已访问
visited[v] = 1;
// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;// 将minWeight初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph,verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs -1边
// 这个是确定每一次生成的子图，那个节点和这次遍历的节点距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i节点表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j节点表示还没有访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
// 替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 找到一条边最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
// 将当前这个节点标记未已经访问
visited[h2] = 1;
// minWeight 重新设置为最大值10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; // 表示图的节点个数
char[] data; // 存放节点数据
int[][] weight; // 存放边，就是邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
克鲁斯卡尔算法
算法介绍
应用场景 -- 公交站问题
算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二：将边添加到最小生成树中时，咋样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路
举例说明(如图)
代码实现
public class KruskalCase {
private int edgeNum;// 边的个数
private char[] vertexs;// 顶点数组
private int[][] matrix;// 邻接矩阵
// 使用INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
// 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */
/* A */{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */{ 12, 0, 0, INF, INF, 7, INF },
/* C */{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },
/* E */{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },
/* G */{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };
// 创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
// 输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
// 构造器
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
// 初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
// 初始化顶点,使用的是复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
// 初始化边，使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
// 统计边的条数
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i + 1; i < vlen; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index = 0;// 表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum];// 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
// 创建结果数组，保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];
// 获取图中所有的边的集合，一共有12条边
EData[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length);
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets,否则不能加入
for(int i = 0;i < edgeNum;i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start);
//获取到第i条边的第2个顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end);
//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1);
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2);
//是否构成回路
if(m != n) {//没有构成回路
ends[m] = n;//设置m在"已有最小生成树"中的终点 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0]
rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组
}
}
//统计并打印"最小生成树",输出rets
System.out.println("最小生成树为");
for(int i = 0;i < index;i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
// 打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为：\n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%20d\t", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/**
* 功能：对边进行排序处理，冒泡排序
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换
EData tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
/**
* @param ch 顶点的值，比如'A','B'
* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {// 找到
return i;
}
}
// 找不到，返回-1
return -1;
}
/**
* 功能：获取图中边，放到EData[]数组中，后面我们需要遍历该数组 是通过matrix邻接矩阵来获取 EData[]
* 形式[['A','B',12],['B','F',7],...]
*
* @return
*/
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能：获取下标为i的顶点的棕垫终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同
*
* @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是那个，ends数组是在遍历过程中，逐步形成
* @param i 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
}
//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
class EData {
char start;// 边的一个点
char end;// 边的另外一个点
int weight;// 边的权值
// 构造器
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
// 重写toString,便于输出边
@Override
public String toString() {
return "EData [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
}
}
以上就是java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解的详细内容，更多关于图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树的资料请关注脚本之家其它相关文章！