计算方法 - 雅可比迭代法 / 高斯-赛德尔迭代法（求解线性方程组）

直接法：求解低阶稠密方程组
迭代法：求解高阶稀疏方程组

迭代法：

将$$AX=b$$转化为$$X=BX+f$$对X进行迭代求解

雅可比迭代法：

雅可比迭代公式：

矩阵形式：
$$X^{k+1}=B_J{X}^k+f_J$$其中：$$B_J=D^{-1}(L+U)(称为雅可比迭代矩阵）,f_J=D^{-1}b$$
元素形式：
$$x_i^{k+1}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j=1,j!=i}^n{a}_{ij}{x}_j^k)(i=1,2,...,n;k=0,1,2,...)$$

题目：

【问题描述】已知线性方程组Ax=b，采用Jacobi法求解x，使得||x_{k+1}-x_{k}||_inf<1e-5
【输入形式】任意阶矩阵A按行输入，b按行输入
【输出形式】保留5位小数
【样例输入】

5.0 2 0 3 10 3 0 4 20

3 5 7

0 0 0

【样例输出】

x:

0.49512

0.26219

0.29756

【样例说明】3阶矩阵A元素5.0 2 0 3 10 3 0 4 20，向量b元素3 5 7，初始值0 0 0

Python实现代码：

import numpy as np


class Jacobi(object):
    def __init__(self, A, X, b):
        self.A = A
        self.X = X
        self.b = b
        self._X = np.zeros(X.shape[0])

    def function(self):
        n = self.A.shape[0]
        for i in range(n):
            self.X[i] = self._X[i]
        for i in range(n):
            self._X[i] = self.b[i]
            for j in range(n):
                if j != i:
                    self._X[i] -= self.A[i][j] * self.X[j]
            self._X[i] /= self.A[i][i]

    def start(self, error):
        self.function()
        while abs(np.max(self.X) - np.max(self._X)) > error:
            self.function()


if __name__ == '__main__':
    A = np.array(input().split(" "))
    b = np.array(input().split(" "))
    X = np.array(input().split(" "))
    A = A.astype(np.float64)
    b = b.astype(np.float64)
    X = X.astype(np.float64)
    n = X.shape[0]
    A = A.reshape((n, n))
    jacobi = Jacobi(A, X, b)
    jacobi.start(1e-5)
    ANS = np.round(jacobi._X, 5)
    print("x:")
    for i in range(ANS.shape[0]):
        print(ANS[i])

高斯-赛德尔迭代法：

高斯-赛德尔迭代公式：

矩阵形式：
$$X^{k+1}=B_G{X}^k+f_G$$其中：$$B_G=(D-L{)}^{-1}U(称为高斯-赛德尔迭代矩阵）,f_G=(D-L{)}^{-1}b$$
元素形式：
$$x_i^{k+1}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j=1,j!=i}^{i-1}{a}_{ij}{x}_j^{k+1}-\sum _{j=i+1,j!=i}^n{a}_{ij}{x}_j^k)(i=1,2,...,n;k=0,1,2,...)$$

题目：

【问题描述】已知线性方程组Ax=b，采用G-S法求解x，使得||x_{k+1}-x_{k}||_inf<1e-5
【输入形式】任意阶矩阵A按行输入，b按行输入
【输出形式】保留5位小数
【样例输入】
5.0 2 0 3 10 3 0 4 20
3 5 7
0 0 0
【样例输出】
x:
0.49512
0.26220
0.29756
【样例说明】3阶矩阵A元素5.0 2 0 3 10 3 0 4 20，向量b元素3 5 7，初始值0 0 0

Python实现代码：

import numpy as np


class GaussSeidel(object):
    def __init__(self, A, X, b):
        self.A = A
        self.X = X
        self.b = b
        self._X = np.zeros(X.shape[0])

    def function(self):
        n = self.A.shape[0]
        for i in range(n):
            self.X[i] = self._X[i]
        for i in range(n):
            self._X[i] = self.b[i]
            for j in range(0, i):
                self._X[i] -= self.A[i][j] * self._X[j]
            for j in range(i+1, n):
                self._X[i] -= self.A[i][j] * self.X[j]
            self._X[i] /= self.A[i][i]

    def start(self, error):
        self.function()
        while abs(np.max(self.X) - np.max(self._X)) > error:
            self.function()


if __name__ == '__main__':
    A = np.array(input().split(" "))
    b = np.array(input().split(" "))
    X = np.array(input().split(" "))
    A = A.astype(np.float64)
    b = b.astype(np.float64)
    X = X.astype(np.float64)
    n = X.shape[0]
    A = A.reshape((n, n))
    gs = GaussSeidel(A, X, b)
    gs.start(1e-5)
    ANS = np.round(gs._X, 5)
    ANS = ANS.astype(str)
    print("x:")
    for i in range(ANS.shape[0]):
        while len(ANS[i]) < 7:
            ANS[i] += "0"
        print(ANS[i])