数据结构之队列和栈的应用

本文介绍队列和栈的实际应用：括号匹配、表达式求值

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一、括号匹配问题

【问题描述】：给定一个仅含有括号的字符串，如何去判断该括号序列是否合法呢？
例如：()()合法，(())合法，【()】合法
但((()不合法，【)【)不合法

用栈来解决。

下面开始模拟算法，走两遍

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比如第一种情况：【()】【】

参考上面的算法思想，执行过程：
1、先看第一个括号，因为是左括号，所以直接把第一个括号【，压入栈中。
2、再看第二个，也是左括号(，所以直接扔进栈就行
3、第三个括号是右括号)，所以我们要弹出一个栈顶元素 ( 进行匹配，发现两者正好匹配，然后继续。现在栈中就只有一个元素【了。
4、第四个括号是】，同上，因为是右括号，所以弹出栈顶元素，然后发现是匹配的。继续，现在栈中没有元素了。
5、第五个是左括号，入栈
6、第六个是右括号，同三，匹配。现在栈中又没有元素了
7、字符串读取完毕，且此时栈中为空，所以字符串是满足括号匹配的！

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情况2、字符串：【()

执行过程：
1、第一个括号为左括号，直接入栈
2、第二个括号为左括号，直接入栈
3、第三个括号为)，弹出栈顶元素(，并检查是否匹配，发现两者匹配，因此继续。现在栈中元素为【
4、字符串读取完毕，但栈不空，所以该括号字符串不满足括号匹配！

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情况3、字符串：【(】【】

执行过程：
1、第一个括号为左括号，直接入栈
2、第二个括号为左括号，直接入栈
3、第三个括号为右括号，所以弹出栈顶元素(，检查发现(和】是不匹配的，因此算法直接return false。该字符串不匹配。

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二、表达式求值

先介绍三种表达式：

那么复杂的表达式，如何完成中缀转前缀呢？

中缀转前缀

核心思想，比如(A+B)*C
我们先把括号内部优先级高的，A+B转成前缀：+AB
然后把(+AB) *C种的+AB看作一个数
因此，最后的转换结果是:
*+ABC

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中缀转后缀

思路和转前缀一样

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用栈实现的算法模拟：

我们以中缀转后缀为例子

执行过程：
1、检测到是左括号(，入栈
2、同上，左括号入栈
3、检测到是数字A，于是将其抄写下来，此时后缀表达式为：A
4、运算符+，根据规则c，运算符优先级是高于左括号的，直接入栈
5、然后检测到数字B，于是抄写下来，此时后缀表达式为：AB
6、遇到右括号了，注意规则b，我们将栈中的运算符全部弹出加入到表达式中，然后直到遇到左括号，将其删除。此时后缀表达式为：AB+。栈中此时为：(
7、遇到*，乘号优先级比括号高，直接压到栈里面。
8、遇到数字C，将其抄写下，此时后缀表达式为：AB+C
9、遇到右括号，将乘号弹出，此时后缀表达式为：AB+C*。并且根据规则b，还要将栈中的左括号删除。那么此时栈中就空了
10、遇到-，因为栈空，直接入栈，
11、遇到左括号，加入栈中
12、遇到数字E，抄写下来，此时后缀表达式为：AB+C*E
13、遇到减号-，因为栈顶是(，所以直接入栈，此时栈内为：- ( -
三个元素
14、遇到数字F，抄写，此时后缀表达式为：AB+C * EF
15、遇到右括号，将减号弹出，加入到表达式中，并且把左括号删除
此时后缀表达式为 AB+C * EF-
16、根据规则d，遍历完成，将栈中所有元素弹出，加入到表达式里。于是弹出减号，此时后缀表达式为 AB+C * EF–

得到最后的答案。

这个算法手动模拟起来稍微麻烦一点，大家多试试，弄熟就好了

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后缀表达式求值

那么我们幸幸苦苦学会了中缀表达式转后缀表达式，到底是为了什么呢？相信很多读者看到这里都会有这样的疑问。哈哈，其实就是因为用后缀表达式来求值是一件非常简单的事情！而中缀表达式交给计算机去直接算，那可就麻烦了。

因此，我们回了中缀转后缀之后，就可以将复杂的中缀表达式先转成后缀表达式，然后再用后缀表达式的求值算法来计算出最后的值。

那，说了这么多，后缀表达式求值到底有多简单呢？

算法思想：
利用一个栈，每次把操作数扔进栈，遇到一个运算符就把栈顶两个元素弹出做一个运算，然后再把运算结果压到栈中，循环以上过程，最后在栈里会得到一个数字，就是结果。

说的有点抽象，来个例子：
比如我们以上面那个后缀表达式为例子:
AB+C*EF–
比如我们取A = 3;B = 2;C = 2;E = 6;F = 4
那么根据其对应的中缀表达式【(A + B) * C】 - 【E - F】
我们可以算出，结果为8
下面我们用后缀表达式算法检验一下：

1、遇到数，无脑扔进栈。所以AB直接扔进，现在栈中元素：AB
2、遇到+，于是将栈顶两个元素AB弹出，做运算A+B = 3 + 2 = 5，将结果5压入栈
3、遇到C，直接入栈
4、遇到*，于是将C、5弹出，做运算C*5 = 5 * 2 = 10;将10压入栈
5、遇到E、F，直接无脑入栈，那么现在栈中：10, E, F三个元素
6、遇到-，将E、F弹出，做运算E - F = 6 - 4 = 2;将2压入栈
7、遇到-，将10、2弹出，做运算10 - 2 = 8。
8、字符串遍历完毕，栈中仅有的是结果，所以结果为8，经检验，算法正确！

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所以今后做表达式求值算法的思路就很明确了，先将中缀表达式转后缀，然后再用后缀表达式求值算法求出结果即可。人比较擅长中缀表达式求值，但计算机更喜欢后缀表达式运算

完