算法--二分

算法基础

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概念

   二分查找(折半查找)是最早接触二分的开始。在二分查找中，为了提高效率，每次查找总数的一半，每一次都从中间开始查找。

• 优点
  比较次数少，检索速度块
• 缺点
  只适用于有序的数据

能二分的一定具有单调性

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   在更多情况下的二分，分为两类：整数和实数，区别就是是否考虑中点归属问题

对于所有二分有以下性质：理论
（1）确定一个(答案)区间，使目标值一定在区间中
（2）找一个判断条件，满足：
   1.判断条件具有二段性
   2.答案是二段性的分界点

整数二分

整数二分有个中点归属问题，属于左边和属于右边是不同的情况

整数二分步骤：

1. 找一个区间[L，R]，使得答案一定在该区间中
2. 找一个判断条件，使得该判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
3. 分析终点M在该判断条件下是否成立，如果成立，考虑答案在哪个区间;如果不成立，考虑答案在哪个区间;
4. 如果更新方式写的是R= Mid，则不用做任何处理;如果更新方式写的是L= Mid，则需要在计算Mid时加上1。

二分的关键tips：判断条件写 带有大于等于的

整数二分模板

int bsearch_1(int l, int r)//下取整
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;//下取整
        if (check(mid)) r = mid;//check是判断条件
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int bsearch_2(int l, int r)//上取整
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//上取整
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

多做几道题就明白了

题目

练习题
789. 数的范围(模板题) 入门题

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, q;
int num[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &num[i]);
    }

    while (q--)
    {
        int k;
        scanf("%d", &k);
        //先找左边的区间
        int l = 0, r = n - 1;
        //左边的端点  也就是k 的开始位置 
        //找的正是 大于等于k 的第一个位置 
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1; //位运算 相当于除二
            if (num[mid] >= k)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }

        if (num[r] == k)
        {
            cout << r << " ";
            r = n - 1;
            //右边端点 找的是 小于等于k 的第一个位置
            //右端点的 右边所有值  都是严格小于等于x的 左边的值是严格大于x的
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1; //位运算 相当于除二
                if (num[mid] <= k)
                    l = mid;
                else
                    r = mid - 1;
            }
            cout << r << endl;
        }
        else
            cout << "-1 -1" << endl;
    }
    return 0;
}

730. 机器人跳跃问题

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int h[N];

int check(int x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        x = 2 * x - h[i];
        if (x < 0)
            return 0;
        if (x >= 1e5) //能量已经到达最大值 后面的肯定满足
            return 1;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &h[i]);
    int l = 0, r = 1e5;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    cout << r << endl;
    return 0;
}

/*
30
29 2 24 14 9 17 29 22 11 13 15 30 27 19 15 30 7 24 6 4 17 18 12 24 25 11 23 27 30 27
*/

1221. 四平方和
哈希

#include 

using namespace std;

const int N = 5e6 + 10;

int n;
int C[N], D[N];


int main(){
    cin >> n;
    memset(C, -1, sizeof C);
    for (int c = 0; c * c <= n; c++)
        for (int d = 0; d * d + c * c <= n; d++)
        {
            int s = c * c + d * d;
            if (C[s]==-1)
            {
                C[s] = c;
                D[s] = d;
            }
        }

    for (int a = 0; a * a <= n;a++)
        for (int b = a; b * b + a*a <= n; b++)
        {
            int t = n - a * a - b * b;
            if(C[t] != -1)
            {
                printf("%d %d %d %d", a, b, C[t], D[t]);
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}

二分

#include 

using namespace std;

const int N = 25000010;

struct Sum //自定义数组
{
    int s, c, d;
    bool operator<(const Sum &t) const //重载小于符号
    {
        if (s != t.s)
            return s < t.s;
        if (c != t.c)
            return c < t.c;
        return d < t.d;
    }
} sum[N];

int n, m;

int main()
{
    cin >> n;

    for (int c = 0; c * c <= n; c++)
        for (int d = c; d * d <= n; d++)
            sum[m++] = {c * c + d * d, c, d};

    sort(sum, sum + m);

    for (int a = 0; a * a <= n; a++)
        for (int b = 0; b * b <= n; b++)
        {
            int t = n - a * a - b * b;
            int l = 0, r = m - 1; //数目
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r >> 1;
                if (sum[mid].s >= t) //目标值在当前的左边
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1;
            }
            if (sum[l].s == t)
            {
                printf("%d %d %d %d", a, b, sum[l].c, sum[l].d);
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}

实数二分

实数二分不考虑边界点问题，而是考虑精度问题，比整数二分简单

将区间[L,R] 分为 [L,M] 和 [M,R] , 判断条件是 R - L < 1e-6 小于10的 -6 次方

注意：根据题目要求写精度，多取两位，比如保留6位小数，则取1e-8

模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

题目

练习题
790. 数的三次方根 入门题

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main(){
    double n;
    cin >> n;
    double l = -10000, r = 10000;
    while(r - l > 1e-8)//题目要求保留6位 加上两位
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    printf("%lf", r);//默认保留6位小数
    return 0;
}