信号与系统1-关于卷积的那些事
信号与系统1-关于卷积的那些事
- 开头
- 卷积的定义和推导
- 神奇的LTI系统
- 卷积的过程
- 有趣的卷积
- 总结
开头
卷积是信号与系统分析中必不可少的工具。
这次的学习教材为Alan V. Oppenheim的信号与系统，视频课程为Alan V. Oppenheim在MIT的公开课。
学习卷积需要一些基础知识：
- 极限和积分的基础知识
- 系统的输入与输出
- 离散时间系统与连续时间系统
- 系统的线性(Linearity)和非线性
- 时不变系统(Time Invariance System)和时变系统
单位冲激函数(Unit Impulse)和单位阶跃函数(Unit Step)
卷积的定义和推导
卷积严格来说应该分为卷积和(Convolution Sum)和卷积积分(Convolution Integral),分别对应离散时间系统和连续时间系统。
如果单纯从数学上来说，卷积的定义会较难理解并且非常枯燥，但如果把卷积的推导过程放到LTI系统中来进行，会较为直观。
首先从离散时间系统开始：
连续时间系统过程类似，但由于连续时间系统的固有特性，推导中会有一个逐渐逼近极限的过程：
在学习卷积的过程中，很容易迷惑的一个点是会有两个自变量出现，比如t和 τ \tau τ，其实对于一个固定的t，以 τ \tau τ为自变量积分，积分出来是一个常数，即一个x(t)对应一个y(t)，也许 τ \tau τ可以看作运算过程中设置的自变量，为了方便推导和计算。
也可以说卷积是人为定义的一种运算，就是为了计算的方便规定的一种算法。两个函数普通乘积的积分变换（傅里叶变换与拉普拉斯变换）与这两个函数积分变换的卷积建立了关系，使我们只要会求两个函数的变换，利用卷积就可以求这两个函数乘积的变换。
连续时间系统的卷积是一种积分运算，它可以用来描述线性时不变系统的输入和输出的关系：即输出可以通过输入和一个表征系统特性的函数（冲激响应函数）进行卷积运算得到。连续时间系统的卷积包含了四步：翻转，移位，乘积，积分。
还有一个有趣的说法，小学学过的多位数乘法就包含了卷积的思想。
神奇的LTI系统
LTI-Linearity Time Invariance System即线性时不变系统，通过卷积的推导过程我们可以惊喜的发现对于LTI系统，可以将系统表示称0时刻的脉冲信号经过该系统后的响应(The LTI system could be represented in terms only of its response to an impulse at time zero)，也就是说对于LTI系统，只要知道在t=0或n=0是的单位冲激信号的响应，通过卷积积分或者是卷积和的计算，就能够得到系统对于任意输入的响应。
LTI系统的这一特点对于系统分析是非常方便的。
卷积的过程
怎么理解卷积的动态过程也是一个重点，基本上只能靠图片和视频来形象化的理解。
离散时间系统的例子：
连续时间系统的例子：
整个过程通俗来说就是一个函数不动，另一个阶跃函数反转之后从左向右滑动，过程中计算积分或者是求和。
这两个都是简单的例子，实际上通过书上其他例子可以理解，时域上的卷积实际上是一种滤波。
有趣的卷积
从《电子工程专辑》公众号还看到一些非常有趣的例子，可以帮助理解卷积：
比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。
下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！
如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。
可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。
本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了。
From 《电子工程专辑》公众号
总结
个人观点是理解和学习卷积还是要从工程的角度出发，从信号与系统的角度出发，而不要把它当作纯粹的数学工具。